Методы наивысшей алгебраической точности (Гаусса - Кристоффеля)
Материал из MachineLearning.
м (категория) |
(постановка общей задачи) |
||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| - | == | + | == Постановка задачи == |
| - | === | + | Рассмотрим задачу поиска определённого интеграла вида |
| + | {{ eqno | 1 }} | ||
| + | <p align="center"> <tex> I=\int_a^b{f(x)\rho(x)dx},\ \rho(x)>0, </tex> </p> | ||
| + | где функция <tex>f(x)</tex> непрерывна на отрезке <tex>[a,b]</tex>, а весовая функция <tex>\rho(x)</tex> непрерывна на интервале <tex>(a,b)</tex>. | ||
| + | Выразить интеграл через элементарные функции в общем случае не удаётся, поэтому обычно <tex>f(x)</tex> заменяют на некоторую аппроксимирующую функцию <tex>\varphi(x)\approx f(x)</tex>. Она подбирается таким образом, чтобы интеграл от неё легко считался в элементарных функциях. Стандартный пример <tex>\varphi(x)</tex> - некоторый обобщённый интерполяционный многочлен. При этом <tex>f(x)</tex> заменяется линейным выражением, со значениями в узлах в качестве коэффициентов: | ||
| + | {{ eqno | 2 }} | ||
| + | <p align="center"> <tex> f(x)=\sum_{i=0}^n {f(x_i)\varphi_i(x)} + r(x),</tex> </p> | ||
| + | где функция <tex>r(x)</tex> - остаточный член аппроксимации. Подстановкой {{eqref|2}} в {{eqref|1}} получаем формулу численного интегрирования (квадратурную формулу): | ||
| + | {{ eqno | 3 }} | ||
| + | <p align="center"> <tex> F=\sum_{i=0}^n {c_i f(x_i)} + R,</tex> </p> | ||
| + | <p align="center"> <tex>c_i = \int_a^b{\varphi(x)\rho(x)dx},\ \ R=\int_a^b{r(x)\rho(x)dx}</tex>, </p> | ||
| + | где <tex>x_i</tex> называются узлами, <tex>c_i</tex> - весами, а <tex>R</tex> - погрешностью или остаточным членом. Интеграл приближённо заменяется суммой, причём узлы и коэффициенты этой суммы не зависят от <tex>f(x)</tex>. | ||
| + | Таким образом, задача сводится к отысканию подходящих наборов узлов и весов, таких, чтобы обеспечить минимизацию погрешности <tex>R</tex> в приемлемое время. | ||
| + | |||
== Изложение метода == | == Изложение метода == | ||
| + | == Анализ метода и ошибок == | ||
== Числовой пример == | == Числовой пример == | ||
== Рекомендации программисту == | == Рекомендации программисту == | ||
== Заключение == | == Заключение == | ||
== Список литературы == | == Список литературы == | ||
| + | * ''Н.Н.Калиткин.'' Численные методы М.: Наука, 1978. | ||
{{stub}} | {{stub}} | ||
[[Категория:Численное интегрирование]] | [[Категория:Численное интегрирование]] | ||
Версия 12:51, 12 октября 2008
Содержание |
Постановка задачи
Рассмотрим задачу поиска определённого интеграла вида
где функция непрерывна на отрезке
, а весовая функция
непрерывна на интервале
.
Выразить интеграл через элементарные функции в общем случае не удаётся, поэтому обычно
заменяют на некоторую аппроксимирующую функцию
. Она подбирается таким образом, чтобы интеграл от неё легко считался в элементарных функциях. Стандартный пример
- некоторый обобщённый интерполяционный многочлен. При этом
заменяется линейным выражением, со значениями в узлах в качестве коэффициентов:
где функция - остаточный член аппроксимации. Подстановкой (2) в (1) получаем формулу численного интегрирования (квадратурную формулу):
,
где называются узлами,
- весами, а
- погрешностью или остаточным членом. Интеграл приближённо заменяется суммой, причём узлы и коэффициенты этой суммы не зависят от
.
Таким образом, задача сводится к отысканию подходящих наборов узлов и весов, таких, чтобы обеспечить минимизацию погрешности
в приемлемое время.
Изложение метода
Анализ метода и ошибок
Числовой пример
Рекомендации программисту
Заключение
Список литературы
- Н.Н.Калиткин. Численные методы М.: Наука, 1978.
