Многомерная интерполяция и аппроксимация на основе теории случайных функций

Материал из MachineLearning.

Содержание 1 Вступление 2 Подход к многомерной интерполяции и аппроксимации на основе теории случайных функций. 2.1 Введение. 2.2 Многомерная интерполяция. 2.3 Дисперсия случайной функции. Множество реализаций, удовлетворяющих узлам интерполяции. 2.4 Многомерная аппроксимация. 2.5 Выводы. 3 Метод машинного обучения. 4 Демонстрация в среде Matlab.

Вступление

(в настоящий момент идет ввод и редактирование статьи, в силу того, что объем довольно значителен а опыта разметки еще нет (прошу прощения за это), сначала планирую выложить описание самого итогового метода, чтобы читатели смогли при желании с ним ознакомиться, затем примеры реализации функций и демонстрации в Matlab, а затем теоретическую часть с обоснованием)

Данную статью условно можно поделить на две части.

• Первая часть посвящена использованию основ теории случайных функций применительно к задачам многомерной интерполяции и аппроксимации, а также машинному обучению и их теоретическому обоснованию. Цель теоретической части показать, что машинное обучение в его парадигме “обучения с учителем”, задачи многомерной интерполяции и аппроксимации, могут быть обобщены на основе теории случайных функций.
  
• Во второй части изложены практические выводы из положений первой части в виде законченного метода машинного обучения (метода многомерной интерполяции и аппроксимации). Если читателя интересуют сугубо практические вопросы, Вы можете перейти сразу к изложению метода.
  
• Предложенный метод позволяет получить точное решение задачи многомерной интерполяции или аппроксимации (“обучение с учителем”) гарантирующее оптимальность (при определенных минимальных допущениях, указанных в теоретической части). Метод достаточно прост и сводится к системе линейных уравнений, что может у читателя не знакомого с вопросом без изучения теоретической части вызвать подозрения в работоспособности или обобщающей способности метода. Но смею Вас уверить, что столь простая математическая конструкция в данном случае никак не ограничивает возможности. Если постараться объяснить кратко, то способности метода обеспечивает “специальная функция”, полученная в теоретической части, применение которой в системе линейных уравнений гарантированно обеспечивает оптимальное, с точки зрения аппарата случайных функций, решение. Использование данной функции позволяет сводить задачи многомерной интерполяции и аппроксимации или самые разнообразные задачи машинного обучения (с определенными допущениями) к решению системы линейных уравнений, гарантируя оптимальность полученного решения, отсутствие переобучения, осцилляций интерполянта и других нежелательных эффектов (если говорить более строго, то в реальных вычислениях используется лишь приближение теоретической “идеальной” функции в используемой части спектра, функция, которую можно записать алгебраически).

Подход к многомерной интерполяции и аппроксимации на основе теории случайных функций.

Введение.

Многомерная интерполяция.

Дисперсия случайной функции. Множество реализаций, удовлетворяющих узлам интерполяции.

Многомерная аппроксимация.

Выводы.

Метод машинного обучения.

Выпишем отдельно ключевые выражения, полученные в теоретической части в виде законченного метода.

• Пусть последовательность представляет собой набор входных векторов для обучения. Пусть соответствующие им представляют собой набор выходных значений. Если значения на выходе представляют собой не один, а набор значений (вектора), то представленные преобразования можно рассмотреть последовательно для каждого из выходных параметров.
  
• Метод позволяет определить функцию, связывающую значения на входе и на выходе (которая будет являться наиболее вероятной реализацией случайной функции, о чем шла речь в теоретической части). Метод также позволяет для произвольного входного значения определить среднеквадратическое отклонение ошибки, которую может дать полученная функция.
  

Функция, связывающая значения обучающей выборки на входе и на выходе будет определяться выражением (103):

Функцию из (103) определим как (104):

где - коэффициенты
- норма (длина) вектора

Коэффициенты для (103) вычисляются из системы линейных уравнений (105):

где - среднеквадратическое отклонение для шума в точке

• Значения определяют априорно предполагаемый уровень шума (погрешности) в данных обучения и соответственно степень приближения, с которой функция (103) воспроизведет данные обучения.
  
• Если , то это будет соответствовать частному случаю, когда погрешность или любая противоречивость в данных отсутствует и, искомая функция должна точно воспроизвести обучающую выборку. Т.е. задача обучения превращается в задачу многомерной интерполяции.
• Если , то это будет соответствовать случаю, когда предполагается что в данных обучения одинаково на всей выборке содержится шум, имеющий нормальное распределение со среднеквадратическим отклонением равным . Задачу обучения можно рассматривать как многомерную аппроксимацию.
  
• Если же уровень шума и его распределение в пространстве обучения неравномерно но известно, его наличие может быть задано в виде функции (или достаточно только ее значений в узлах интерполяции).

Рассмотрим теперь коэффициенты в выражении (104).

• Коэффициенты и в “идеальном случае” должны быть приблизительно равны и устремлены в бесконечность. В реальных вычислениях в качестве этих коэффициентов можно использовать при условии нормирования входных значений в диапазоне [-1,1] (они должны быть на несколько порядков больше диапазона изменения входных значений). С увеличением и разница от использования функции (104) вместо “идеальной функции” устремляется в область все более низких частот (при разложении искомой функции в спектр) измеряемыми и все меньше влияет на результаты обучения в области параметрического пространства, где находится обучающая выборка.
• Коэффициент ,назовем его “калибровочным”, связан со свойствами априорной случайной функции. Хотя непосредственно случайные функции в представленных выражениях (103) - (105) не используются, эти выражения выведены на их основе. (Если и обучение сводится к многомерной интерполяции, значение можно взять произвольным, поскольку при решении системы (105) и вычислении функции (103) он сократится.)

Процедура вычисления (предлагаемый вариант):

Рис.10. Оценка желаемой дисперсии на единичном расстоянии.

• Калибровка требуется, чтобы найти баланс между возможными погрешностями, неточностями и противоречиями в данных обучения и возможной нелинейностью самой функции, связывающей вход и выход.
• Предположим известно, что искомая функция (103) проходит через некий узел. Для калибровки можно априорно задать желаемый уровень дисперсии множества возможных реализаций на единичном расстоянии от узла. С увеличением при вычислениях (103) – (105) все “ большая роль” будет отводиться возможной нелинейности самой функции, с уменьшением – все больше “списываться” на наличие неточностей в данных обучения. При известном можно вычислить требуемый коэффициент :

Рис.11. Пример одномерной интерполяции

• На рис.11. представлен пример одномерной интерполяции (при ). Как видно из рисунка, интерполяция выполнена качественно (отсутствуют осцилляции, которые, например, часто имеют место при использовании интерполяционного многочлена Лагранжа).
• С вводом , интерполяция легко превращается в аппроксимацию - Рис.12.

Рис.12. Пример одномерной аппроксимации

Рис.13. Пример двумерной интерполяции

Рис.14. Пример двумерной аппроксимации

• На Рис. 11 – 14 представлены примеры интерполяции и аппроксимации в одномерном и двумерном случае в целях наглядности результатов. Выражения (103) – (105) могут быть использованы без ограничений для пространства любой размерности.
• Для определения среднеквадратического отклонения возможной ошибки были получены выражения:

• Значение определяется следующим выражением:

• А коэффициенты из (108) находятся решением системы уравнений (109):

• Необходимо отметить, что при расчете среднеквадратического отклонения для каждого значения , необходимо рассчитать индивидуальное значение и заново решать систему уравнений (109) (хотя вычисления можно упростить, единожды вычислив обратную матрицу).

Демонстрация в среде Matlab.