Мультиколлинеарность

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Мультиколлинеарность - тесная корреляционная взаимосвязь между отбираемыми для анализа факторами, совместно воздействующими на общий результат, которая затрудняет оценивание регрессионных параметров.

Основные положения

Если регрессоры в модели связаны строгой функциональной зависимостью, то имеет место полная (совершенная) мультиколлинеарность. Данный вид мультиколлинеарности может возникнуть, например, в задаче линейной регрессии, решаемой методом наименьших квадратов, если определитель матрицы A^TA будет равен нулю. Полная мультиколлинеарность не позволяет однозначно оценить параметры исходной модели и разделить вклады регрессоров в выходную переменную по результатм наблюдений.

В задачах с реальными данными случай полной мультиколлинеарности встречается крайне редко. Вместо этого в прикладной области часто приходится иметь дело с частичной мультиколлинеарностью, которая характеризуется коэффициентами парной корреляции между регрессорами. В случае частичной мультиколлинеарности матрица A^TA будет иметь полный ранг, но ее определитель будет близок к нулю. В этом случае формально можно получить оценки параметров модели и их точностные показатели, но все они будут неустойчивыми.

Среди последствий частичной мультиколлинеарности можно выделить следующие:

  • увеличение дисперсий оценок параметров
  • уменьшение значений t-статистик для параметров, что приводит к неправильному выводу об их статистической значимости
  • получение неустойчивых оценок параметров модели и их дисперсий
  • возможность получения неверного с точки зрения теории знака у оценки параметра

Точные количественные критерии для обнаружения частичной мультиколлинеарности отсутствуют. В качестве признаков ее наличия чаще всего используют следующие:

  • Превышение некого порога модулем парного коэффициента корреляции между регрессорами X_i и X_j
  • Близость к нулю определителя матрицы A^TA
  • Большое количество статистически незначимых параметров в модели

Методы устранения мультиколлинеарности

Существует два основных подхода к решению этой задачи.

  1. Метод дополнительных регрессий
    1. Строятся уравнения регрессии, которые связывают каждый из регрессоров со всеми остальными
    2. Вычисляются коэффициенты детерминации R^2 для каждого уравнения регрессии
    3. Проверяется статистическая гипотеза H_0:\ R^2=0 с помощью F-теста
      Вывод: если гипотеза H_0 не отвергается, то данный регрессор не приводит к мультиколлинеарности.
  1. Метод последовательного присоединения
    1. Строится регрессионная модель с учетом всех предполагаемых регрессоров. По признакам делается вывод о возможном присутствии мультиколлинеарности
    2. Расчитывается матрица корреляций и выбирается регрессор, имеющий наибольшую корреляцию с выходной переменной
    3. К выбранному регрессору последовательно добавляются каждый из оставшихся регрессоров и вычисляются скорректированные коэффициенты детерминации для каждой из моделей. К модели присоединяется тот регрессор, который обеспечивает наибольшее значение скорректированного R^2
      Процесс присоединения регрессоров прекращается, когда значение скорректированного R^2 становится меньше достигнутого на предыдущем шаге.

Каким бы образом не осуществлялся отбор факторов, уменьшение их числа приводит к улучшению обусловленности матрицы A^TA, а, следовательно, и к повышению качества оценок параметров модели.

Литература

  1. Костюнин В. И. Проблема мультиколлинеарности в регрессионных моделях.
Личные инструменты