Объединённая модель панельных данных

Материал из MachineLearning.

Версия от 22:43, 7 января 2009; Юлия Власова (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Содержание

1 Введение
2 Описание объединенной модели
3 Литература
4 См. также
5 Ссылки

Введение

Панельные данные (Panel data)

Имеется множество объектов (индивидуумы, домашние хозяйства, фирмы, регионы, страны и т.п.), занумерованных индексами $i=1,...,n$ . Они наблюдаются в моменты времени $t=1,...,T$ . Каждый рассматриваемый объект характеризуется $k$ переменными (признаками):

$x_{it}=(x_{it}^1,...,x_{it}^k) \in \mathbb{R}^k$ .

Для большинства баз панельных данных характерно, что они содержат наблюдения о большом количестве объектов за относительно короткий промежуток времени.

Обозначения

Введем обозначения:

$x_{it}$ – набор независимых переменных (вектор размерности $k$ )
$y_{it}$ – зависимая переменная для экономической единицы $i$ в момент времени $t$
$\varepsilon_{it}$ – соответствующая ошибка.
Обозначим также:

$\begin{equation*} y_i= \left[y_{i1} \\ ...\\ y_{iT} \right] \text{,} \quad X_i= \left[ x'_{i1} \\ ...\\ x'_{iT} \right] \text{,} \quad \varepsilon_i= \left[ \varepsilon_{i1} \\ ...\\ \varepsilon_{iT} \right]. \end{equation*}$

Введем также «объединенные» наблюдения и ошибки:

$\begin{equation*} y= \left[ y_1 \\ ...\\ y_n \right] \text{,} \quad X= \left[ X_1 \\ ...\\ X_n \right] \text{,} \quad \varepsilon= \left[ \varepsilon_1 \\ ...\\ \varepsilon_n \right]. \end{equation*}$

Здесь $y, \varepsilon$ – $nT \times 1$ векторы, $X$ – $nT \times k$ матрица.

Преимущества анализа панельных данных перед другими методами

Благодаря специальной структуре панельные данные позволяют строить более гибкие и содержательные модели и получать ответы на вопросы, которые недоступны только в рамках, например, моделей, основанных на пространственных данных.

Возникает возможность учитывать и анализировать индивидуальные отличия между экономическими единицами, что нельзя сделать в рамках стандартных регрессионных моделей.
Часто ненаблюдаемые факторы коррелированны с другими переменными. В рамках моделей регрессии это означает, что ненаблюдаемый фактор является существенной переменной в модели и ее исключение приводит к смещенным оценкам остальных параметров. Иными словами, модели с панельными данными позволяют получать более точные оценки параметров.

Основные модели анализа панельных данных

Объединенная модель панельных данных (Pooled model)
Модель панельных данных с фиксированными эффектами (Fixed effect model)
Модель панельных данных со случайными эффектами (Random effect model)

Описание объединенной модели

Простейшая модель – это обычная линейная модель регрессии

$\widehat{y}_{it} = x'_{it} \cdot \beta + \mu = \sum_{j=1}^k {x_{it}^j \cdot \beta_j} + \mu$

или в матричной форме

$\widehat{y} = X \cdot \beta + \mu$ ,

которая, по существу, не учитывает панельную структуру данных. (Здесь $\beta$ – неизвестный вектор размера $k \times 1$ .) Считается, что зависимая переменная линейно зависит от всех переменных в тот же момент времени.