Оценивание дискретных распределений при дополнительных ограничениях на вероятности некоторых событий (виртуальный семинар)
Материал из MachineLearning.
Общая постановка задачи
Задача состоит в восстановлении дискретной функции плотности вероятности (где
- элементарные исходы, зависящие от времени
,
, где
- дельта-функция Дирака. То есть, проще говоря, события разного вида
происходят в случайные моменты времени
) ) при условии, что заданы условия на
(где
- суперпозиция финальных исходов (интегрированных по времени:
)),
- функция распределения вероятностей,
- заданные вероятности,
).
Эмпирические частоты для заданы.
В качестве функционала качества предлагается использовать: , где
- оценки на вероятности исходов, которые строятся из элементарных исходов интегрированием по времени и суперпозицией получившихся исходов; сумма берется по полному набору исходов (n - полное число исходов в
),
- истинные значения вероятностей.
Частная постановка задачи
В частном случае: D=2,
В качестве функционала качества можно принять среднее среди функционалов качества для интегральных по времени исходов для деления всего времени на M одинаковых интервалов:
, где
(
- положительное бесконечно малое число введено, чтобы не учитывать два раза события на границе интервала). Для M=2 и D=2 множество
превращается в множество типа
, а множество функции плотности вероятности для двух интервалов превращается в
, где
- количества событий типа i и j, соответственно, которые произошли в интервале [0,T].
- Известны результаты реализации этого случайного процесса, из которых можно построить эмпирическую плотность распределения
.
Проблема выбора функции и параметризации для маргинальных плотностей (декомпозиция) и подгонка совместной плотности для удовлетворения связям (обратная композиция)
Проблемы:
- допустимость перехода к маргинальных плотностям;
- выбор класса функции плотности вероятностей;
- выбор метода оценки параметров. Хорош ли метод максимального правдоподобия для оценки параметров функции плотности распределения, если при оценивании используются только интегральные по времени величины (интегральные эмпирическая функция и интегральная функция распределения вероятностей)).
- метод подгонки совместной плотности для удовлетворения связям. (1) Для случая одного интервала разбиения:
,
. (2) Для случая двух интервалов разбиения:
.
- статистические свойства метода подгонки;
- возможность введения в квадратичное выражение констант
, зависящих от эмпирических данных для улучшения статистических свойств оценок.
- статистические свойства и свойства функционала качества итоговой оценки плотности.
Сглаживание и подгонка совместной плотности (без декомпозиции к маргинальным плотностям)
Проблемы:
- сглаживание совместной плотности в зависимости от эмпирических данных и значения связей при сохранении статистических свойств;
- подгонка совместной плотности для удовлетворения связям.
