Практикум на ЭВМ (317)/2013/Коды БЧХ

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
Строка 5: Строка 5:
'''Начало выполнения задания''': 8 мая 2013 г.<br>
'''Начало выполнения задания''': 8 мая 2013 г.<br>
-
'''Срок сдачи''': {{важно|19 мая 2013 г. (воскресенье), 23:59.}}
+
'''Срок сдачи''': {{важно|20 мая 2013 г. (понедельник), 23:59.}}
Программная среда для выполнения задания — MATLAB. Неэффективная реализация кода может негативно отразиться на оценке.
Программная среда для выполнения задания — MATLAB. Неэффективная реализация кода может негативно отразиться на оценке.
Строка 19: Строка 19:
== Формулировка задания ==
== Формулировка задания ==
-
В задании выдается список всех примитивных многочленов степени <tex>l</tex> для поля <tex>GF(2^l)</tex> для всех <tex>l=1,2,\dots,16</tex>.
+
В задании выдается [[Media:Gf_primpoly.zip|список]] всех примитивных многочленов степени <tex>l</tex> для поля <tex>GF(2^l)</tex> для всех <tex>l=1,2,\dots,16</tex>.
# Реализовать основные операции в поле <tex>GF(2^l)</tex>: сложение, умножение, деление, решение СЛАУ, поиск примитивных элементов, вычисление значения многочлена из <tex>GF(2^l)[x]</tex> для заданного элемента поля. Реализовать поиск минимального многочлена из <tex>GF(2)[x]</tex> для заданного набора корней из поля <tex>GF(2^l)</tex> двумя способами: с помощью решения СЛАУ и с помощью построения циклотомических классов смежности. Провести временные замеры скорости работы для этих двух способов.
# Реализовать основные операции в поле <tex>GF(2^l)</tex>: сложение, умножение, деление, решение СЛАУ, поиск примитивных элементов, вычисление значения многочлена из <tex>GF(2^l)[x]</tex> для заданного элемента поля. Реализовать поиск минимального многочлена из <tex>GF(2)[x]</tex> для заданного набора корней из поля <tex>GF(2^l)</tex> двумя способами: с помощью решения СЛАУ и с помощью построения циклотомических классов смежности. Провести временные замеры скорости работы для этих двух способов.
Строка 225: Строка 225:
|pm — матрица соответствия между десятичным и степенным представлением в поле <tex>GF(2^l)</tex>;
|pm — матрица соответствия между десятичным и степенным представлением в поле <tex>GF(2^l)</tex>;
|-
|-
-
|method — (необязательный параметр) метод декодирования, строка, возможные значения 'pgz' и 'bma', по умолчанию = 'bma';
+
|method — (необязательный параметр) метод декодирования, строка, возможные значения 'pgz' и 'bma', по умолчанию = 'pgz';
|-
|-
|ВЫХОД
|ВЫХОД

Версия 12:32, 8 мая 2013

Формулировка задания находится в стадии разработки. Убедительная просьба не приступать к выполнению задания до тех пор, пока это предупреждение не будет удалено.


Основная статья: Практикум на ЭВМ (317)


Начало выполнения задания: 8 мая 2013 г.
Срок сдачи: 20 мая 2013 г. (понедельник), 23:59.

Программная среда для выполнения задания — MATLAB. Неэффективная реализация кода может негативно отразиться на оценке.

Необходимая теория

Кодирование с помощью (n,k,d)-блоковых линейных циклических кодов

Коды БЧХ: кодирование и декодирование

Укороченные коды

Формулировка задания

В задании выдается список всех примитивных многочленов степени l для поля GF(2^l) для всех l=1,2,\dots,16.

  1. Реализовать основные операции в поле GF(2^l): сложение, умножение, деление, решение СЛАУ, поиск примитивных элементов, вычисление значения многочлена из GF(2^l)[x] для заданного элемента поля. Реализовать поиск минимального многочлена из GF(2)[x] для заданного набора корней из поля GF(2^l) двумя способами: с помощью решения СЛАУ и с помощью построения циклотомических классов смежности. Провести временные замеры скорости работы для этих двух способов.
  2. Реализовать процедуру систематического кодирования для циклического кода, заданного своим порождающим многочленом;
  3. Реализовать процедуру построения порождающего многочлена для БЧХ-кода при заданных n и d с одновременным выбором нулей кода таким образом, чтобы значение k было максимальным. С помощью экспериментов определить, как сильно может меняться k в зависимости от выбора примитивного элемента - первого нуля кода для различных значений l,n,d;
  4. Реализовать процедуру декодирования БЧХ-кода с помощью метода PGZ;
  5. [Бонус] Реализовать процедуру декодирования БЧХ-кода с помощью алгоритма Берлекемпа-Мэсси (BMA). Провести сравнение методов BMA и PGZ по времени работы;
  6. Провести экспериментальное исследование БЧХ-кода на модельных данных;
  7. Составить отчет в формате PDF обо всех проведенных исследованиях.

Рекомендации по выполнению задания

Оформление задания

Выполненное задание с отчетом и всеми исходными кодами необходимо прислать преподавателю. Большая просьба строго следовать указанным ниже прототипам реализуемых функций.

 

Построение матрицы соответствия между десятичным и степенным представлением для всех элементов поля GF(2^l)
pm = gf_gen_pow_matrix(pp)
ВХОД
pp — примитивный многочлен в поле GF(2^l) степени l, десятичное число;
ВЫХОД
pm — матрица соответствия между десятичным представлением и степенным представлением по стандартному примитивному элементу x, матрица размера 2^l-1{\times}2, в которой в первой колонке в позиции i стоит степень j:\alpha^j=i, а во второй колонке в позиции i стоит значение \alpha^i.

 

Суммирование в GF(2^l)
res = gf_sum(X, Y) — поэлементное суммирование двух матриц
res = gf_sum(X, [], dim) — суммирование по заданной размерности
ВХОД
X, Y — матрица из элементов поля GF(2^l), каждый элемент представляет собой десятичное число, двоичная запись которого соответствует коэффициентам полинома над полем GF(2), первый разряд соответствует старшей степени полинома;
dim — (необязательный параметр) номер размерности для суммирования, по умолчанию = 1;
ВЫХОД
res — результат суммирования.

 

Умножение/деление в поле GF(2^l)
res = gf_prod(X, Y, pm) — поэлементное умножение двух матриц
res = gf_divide(X, Y, pm) — поэлементное деление двух матриц
ВХОД
X, Y — матрица из элементов поля GF(2^l);
pm — матрица соответствия между десятичным и степенным представлением в поле GF(2^l);
ВЫХОД
res — результат операции, при делении на ноль соответствующий элемент равен NaN.

 

Решение СЛАУ A\vec{x}=\vec{b} в поле GF(2^l) методом Гаусса
x = gf_linsolve(A, b, pm)
ВХОД
A — квадратная матрица из элементов поля GF(2^l);
b — вектор-столбец из элементов поля GF(2^l);
pm — матрица соответствия между десятичным и степенным представлением в поле GF(2^l);
ВЫХОД
x — решение СЛАУ, вектор-столбец из элементов поля, в случае вырожденности A равен NaN.

 

Поиск всех примитивных элементов поля GF(2^l)
alpha = gf_primel(pm)
ВХОД
pm — матрица соответствия между десятичным и степенным представлением в поле GF(2^l);
ВЫХОД
alpha — найденные примитивные элементы, вектор-столбец десятичных чисел.

 

Поиск минимального полинома в GF(2)[x] с заданным набором корней из GF(2^l)
p = gf_minpoly(x, pm, method)
ВХОД
x — вектор-столбец из элементов поля GF(2^l);
pm — матрица соответствия между десятичным и степенным представлением в поле GF(2^l);
method — (необязательный параметр) метод поиска, строка, возможные значения 'ls' (с помощью решения СЛАУ) и 'cosets' (с помощью построения циклотомических классов смежности), по умолчанию = 'cosets';
ВЫХОД
p — найденный полином, десятичное число.

 

Значение полинома из GF(2^l)[x] на элементе из GF(2^l)
res = gf_polyval(p, X, pm)
ВХОД
p — полином из GF(2^l)[x], вектор-столбец коэффициентов, начиная со старшей степени;
X — матрица из элементов поля GF(2^l);
pm — матрица соответствия между десятичным и степенным представлением в поле GF(2^l);
ВЫХОД
res — значение полинома для всех элементов X.

 

Систематическое кодирование циклическим кодом с заданным порождающим многочленом
V = cyclic_coding(U, g, n)
ВХОД
U — исходные сообщения для кодирования, вектор-столбец десятичных чисел;
g — порождающий полином кода, десятичное число;
n — длина кода, десятичное число;
ВЫХОД
V — закодированные сообщения, вектор-столбец десятичных чисел.

 

Поиск порождающего многочлена для БЧХ-кода с максимизацией k
[g, R, pm] = bch_genpoly(n, d)
ВХОД
n — длина кода, число вида 2^l-1;
d — минимальное расстояние кода, число;
ВЫХОД
g — порождающий полином кода, число;
R — нули кода, вектор-столбец чисел;
pm — матрица соответствия между десятичным и степенным представлением в поле GF(2^l).

 

Декодирование БЧХ-кода
V = bch_decoding(W, R, pm, method)
ВХОД
W — набор принятых сообщений, вектор-столбец элементов из GF(2^l);
R — нули кода, вектор-столбец элементов из GF(2^l);
pm — матрица соответствия между десятичным и степенным представлением в поле GF(2^l);
method — (необязательный параметр) метод декодирования, строка, возможные значения 'pgz' и 'bma', по умолчанию = 'pgz';
ВЫХОД
V — декодированные сообщения, вектор-столбец чисел, в случае отказа от декодирования соответствующий элемент равен NaN.
Личные инструменты