Практикум на ЭВМ (317)/2013/Коды БЧХ

Материал из MachineLearning.

Версия от 16:07, 8 мая 2013; Kropotov (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Формулировка задания находится в стадии разработки. Убедительная просьба не приступать к выполнению задания до тех пор, пока это предупреждение не будет удалено.

Основная статья: Практикум на ЭВМ (317)

Начало выполнения задания: 8 мая 2013 г.
Срок сдачи: 20 мая 2013 г. (понедельник), 23:59.

Программная среда для выполнения задания — MATLAB. Неэффективная реализация кода может негативно отразиться на оценке.

Необходимая теория

Кодирование с помощью (n,k,d)-блоковых линейных циклических кодов

Коды БЧХ: кодирование и декодирование

Укороченные коды

Формулировка задания

В задании выдается список всех примитивных многочленов степени $l$ для поля $GF(2^l)$ для всех $l=1,2,\dots,16$ .

Реализовать основные операции в поле $GF(2^l)$ : сложение, умножение, деление, решение СЛАУ, поиск примитивных элементов, вычисление значения многочлена из $GF(2^l)[x]$ для заданного элемента поля. Реализовать поиск минимального многочлена из $GF(2)[x]$ для заданного набора корней из поля $GF(2^l)$ двумя способами: с помощью решения СЛАУ и с помощью построения циклотомических классов смежности. Провести временные замеры скорости работы для этих двух способов.
Реализовать процедуру систематического кодирования для циклического кода, заданного своим порождающим многочленом;
Реализовать процедуру построения порождающего многочлена для БЧХ-кода при заданных $n$ и $d$ ;
Построить графики зависимости скорости БЧХ-кода $r=k/n$ от минимального кодового расстояния $d$ для различных значений $n$ . Какие значения $d$ следует выбирать на практике для заданного $n$ ?
Реализовать процедуру вычисления истинного минимального расстояния циклического кода, заданного своим порождающим многочленом, путем полного перебора по всем $2^k-1$ кодовым словам. Привести пример БЧХ-кода, для которого истинное минимальное расстояние больше, чем величина $d$ , задаваемая при построении порождающего многочлена;
Реализовать процедуру декодирования БЧХ-кода с помощью метода PGZ. Провести замеры времени работы реализованного алгоритма декодирования;
[Бонус] Реализовать процедуру декодирования БЧХ-кода с помощью алгоритма Берлекемпа-Мэсси (BMA). Провести сравнение методов BMA и PGZ по времени работы;
С помощью метода стат. испытаний реализовать процедуру оценки доли правильно раскодированных сообщений, доли ошибочно раскодированных сообщений и доли отказов от декодирования для БЧХ-кода. С помощью этой процедуры убедиться в том, что БЧХ-код действительно позволяет гарантированно исправить до $[(d-1)/2]$ ошибок. Может ли БЧХ-код исправить больше, чем $[(d-1)/2]$ ошибок? Как ведут себя характеристики кода при числе ошибок, превышающем $[(d-1)/2]$ ?
Составить отчет в формате PDF обо всех проведенных исследованиях.

Оформление задания

Выполненное задание с отчетом и всеми исходными кодами необходимо прислать преподавателю. Большая просьба строго следовать указанным ниже прототипам реализуемых функций.

Построение матрицы соответствия между десятичным и степенным представлением для всех элементов поля $GF(2^l)$
pm = gf_gen_pow_matrix(pp)
ВХОД
pp — примитивный многочлен в поле $GF(2^l)$ степени $l$ , десятичное число;
ВЫХОД
pm — матрица соответствия между десятичным представлением и степенным представлением по стандартному примитивному элементу $x$ , матрица размера $2^l-1{\times}2$ , в которой в первой колонке в позиции $i$ стоит степень $j:\alpha^j=i$ , а во второй колонке в позиции $i$ стоит значение $\alpha^i$ .

Суммирование в $GF(2^l)$
res = gf_sum(X, Y) — поэлементное суммирование двух матриц
res = gf_sum(X, [], dim) — суммирование по заданной размерности
ВХОД
X, Y — матрица из элементов поля $GF(2^l)$ , каждый элемент представляет собой десятичное число, двоичная запись которого соответствует коэффициентам полинома над полем $GF(2)$ , первый разряд соответствует старшей степени полинома;
dim — (необязательный параметр) номер размерности для суммирования, по умолчанию = 1;
ВЫХОД
res — результат суммирования.

Умножение/деление в поле $GF(2^l)$
res = gf_prod(X, Y, pm) — поэлементное умножение двух матриц
res = gf_divide(X, Y, pm) — поэлементное деление двух матриц
ВХОД
X, Y — матрица из элементов поля $GF(2^l)$ ;
pm — матрица соответствия между десятичным и степенным представлением в поле $GF(2^l)$ ;
ВЫХОД
res — результат операции, при делении на ноль соответствующий элемент равен NaN.

Решение СЛАУ $A\vec{x}=\vec{b}$ в поле $GF(2^l)$ методом Гаусса
x = gf_linsolve(A, b, pm)
ВХОД
A — квадратная матрица из элементов поля $GF(2^l)$ ;
b — вектор-столбец из элементов поля $GF(2^l)$ ;
pm — матрица соответствия между десятичным и степенным представлением в поле $GF(2^l)$ ;
ВЫХОД
x — решение СЛАУ, вектор-столбец из элементов поля, в случае вырожденности $A$ равен NaN.

Поиск всех примитивных элементов поля $GF(2^l)$
alpha = gf_primel(pm)
ВХОД
pm — матрица соответствия между десятичным и степенным представлением в поле $GF(2^l)$ ;
ВЫХОД
alpha — найденные примитивные элементы, вектор-столбец десятичных чисел.

Поиск минимального полинома в $GF(2)[x]$ с заданным набором корней из $GF(2^l)$
[p, x_coset] = gf_minpoly(x, pm, method)
ВХОД
x — вектор-столбец из элементов поля $GF(2^l)$ ;
pm — матрица соответствия между десятичным и степенным представлением в поле $GF(2^l)$ ;
method — (необязательный параметр) метод поиска, строка, возможные значения 'ls' (с помощью решения СЛАУ) и 'cosets' (с помощью построения циклотомических классов смежности), по умолчанию = 'cosets';
ВЫХОД
p — найденный полином, десятичное число;
x_coset — все корни минимального полинома (x + все смежные с x элементы), вектор-столбец из элементов поля $GF(2^l)$ .

Значение полинома из $GF(2^l)[x]$ на элементе из $GF(2^l)$
res = gf_polyval(p, X, pm)
ВХОД
p — полином из $GF(2^l)[x]$ , вектор-столбец коэффициентов, начиная со старшей степени;
X — матрица из элементов поля $GF(2^l)$ ;
pm — матрица соответствия между десятичным и степенным представлением в поле $GF(2^l)$ ;
ВЫХОД
res — значение полинома для всех элементов X.

Систематическое кодирование циклическим кодом с заданным порождающим многочленом
V = cyclic_coding(U, g, n)
ВХОД
U — исходные сообщения для кодирования, вектор-столбец десятичных чисел;
g — порождающий полином кода, десятичное число;
n — длина кода, десятичное число;
ВЫХОД
V — закодированные сообщения, вектор-столбец десятичных чисел.

Поиск порождающего многочлена для БЧХ-кода с максимизацией $k$
[g, R, pm] = bch_genpoly(n, d)
ВХОД
n — длина кода, число вида $2^l-1$ ;
d — минимальное расстояние кода, число;
ВЫХОД
g — порождающий полином кода, число;
R — нули кода, вектор-столбец чисел;
pm — матрица соответствия между десятичным и степенным представлением в поле $GF(2^l)$ .

Декодирование БЧХ-кода
V = bch_decoding(W, R, pm, method)
ВХОД
W — набор принятых сообщений, вектор-столбец элементов из $GF(2^l)$ ;
R — нули кода, вектор-столбец элементов из $GF(2^l)$ ;
pm — матрица соответствия между десятичным и степенным представлением в поле $GF(2^l)$ ;
method — (необязательный параметр) метод декодирования, строка, возможные значения 'pgz' и 'bma', по умолчанию = 'pgz';
ВЫХОД
V — декодированные сообщения, вектор-столбец чисел, в случае отказа от декодирования соответствующий элемент равен NaN.

Вычисление минимального расстояния циклического кода путем полного перебора
d = cyclic_dist(g, n)
ВХОД
g — порождающий многочлен кода, десятичное число;
n — длина кода, число вида $2^l-1$ ;
ВЫХОД
d — минимальное расстояние кода, число.

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B8%D0%BA%D1%83%D0%BC_%D0%BD%D0%B0_%D0%AD%D0%92%D0%9C_%28317%29/2013/%D0%9A%D0%BE%D0%B4%D1%8B_%D0%91%D0%A7%D0%A5»

Практикум на ЭВМ (317)/2013/Коды БЧХ

Материал из MachineLearning.

Содержание

Необходимая теория

Кодирование с помощью (n,k,d)-блоковых линейных циклических кодов

Коды БЧХ: кодирование и декодирование

Укороченные коды

Формулировка задания

Рекомендации по выполнению задания

Оформление задания

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты