Критерий знаковых рангов Уилкоксона

Материал из MachineLearning.

Содержание

1 Предположения
2 Описание критерия
3 Реализации

Критерий знаковых рангов Уилкоксона — непараметрический статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя выборками, взятыми из закона распределения, отличного от нормального, либо измеренными с использованием порядковой шкалы.

Гипотеза $H_0$ : медиана разностей в парах равна 0
Альтернатива: медиана разностей в парах не равна 0

Предположения

Данные приходят парами
Пары незвасимы и одинаково распределены
Данные измерены хотя бы в порядковой шкале
Распределение разностей симметрично относительно медианы

Описание критерия

Пусть $N$ — размер выборки (число пар). Обозначим $x_{1,i}$ — элементы 1 выборки и $x_{2,i}$ — элементы 2 выборки.

H₀: медиана разности между парами равна 0

H₁: медиана разности между парами не равна 0

Для $i = 1, ..., N$ , вычислить $|x_{2,i} - x_{1,i}|$ и $sign(x_{2,i} - x_{1,i})$
Исключить пары, где $|x_{2,i} - x_{1,i}| = 0$ . Пусть $N_r$ — размер полученной выборки после удаления таких пар
Упорядочить оставшиеся $N_r$ пар в порядке возрастания модуля разности, $|x_{2,i} - x_{1,i}|$ .
Построить ранги всех пар, $R_i$ обозначает ранг i-й пары.
Вычислить статистику $W$
$W = |\sum_{i=1}^{N_r} [sign(x_{2,i} - x_{1,i}) \cdot R_i]|$ , модуль суммы знаковых рангов.
С ростом $N_r$ распределение $W$ сходится к нормальному. Thus,
For $N_r \ge 10$ , a z-score can be calculated as $z = \frac{W - 0.5}{\sigma_W}, \sigma_W = \sqrt{\frac{N_r(N_r + 1)(2N_r + 1)}{6}}$ .
Если <math>z > z_{critical}</math> отклонить $H_0$

Если $N_r < 10$ , $W$ Сравнивается с критическими значениями по таблице.

Если $W \ge W_{critical, N_r}$ отвергнуть $H_0$