Стандартизация задач с помощью замены переменных

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(Заключение)
 
(10 промежуточных версий не показаны.)
Строка 1: Строка 1:
== Введение ==
== Введение ==
-
== Формула замены переменных в неопределенном интеграле ==
 
-
Рассмотрим свойство неопределенного интеграла, часто оказывающееся полезным при вычислении первообразных элементарных функций.
+
Задача интегрирования функций значительно сложнее задачи дифференцирования. Здесь отсутствуют правила интегрирования произведения и частного двух функций, сложной и обратной функций. Имеются лишь некоторый приемы, позволяющие интегрировать отдельные классы функций. Методы замены переменных позволяют свести исходный интеграл к более простому с помощью перехода от старой переменной интегрирования к новой.
-
'''Теорема.'''
 
-
 
-
Пусть функции <tex> f(x)</tex> и <tex> \phi(x) </tex> определены соответственно на промежутках <tex> \Delta_x </tex> и <tex> \Delta_y </tex>, причем <tex> \phi(\Delta_t) \subset \Delta_x </tex>. Если функция <tex> f </tex> имеет на <tex> \Delta_x </tex> первообразную <tex> F{x)</tex> и, следовательно,
 
-
<p align = "center">
 
-
[[Изображение:Q1.jpg‎]] (1) </p>
 
-
 
-
а функция <tex> \phi(x) </tex> дифференцируема на <tex> \Delta_t </tex>, то функция
 
-
<tex> f(\phi(t))\phi^,(t) </tex> имеет на <tex> \Delta_t </tex>, первообразную <tex> F(\phi(t)) </tex> и
 
-
<p align = "center">
 
-
[[Изображение:Q2.png‎]] (2) </p>
 
-
 
-
 
-
Формула {{eqref|1}} называется формулой интегрирования подстановкой, а именно подстановкой <tex> \phi(t) = x </tex>. Это название объясняется тем, что если формулу {{eqref|2}} записать в виде
 
-
 
-
::[[Изображение:Q3.png‎]]
 
-
 
-
то будет видно, что, для того чтобы вычислить интеграл [[Изображение:Q4.png‎]]), можно сделать подстановку <tex> x = \phi(t) </tex>, вычислить интеграл <tex> \int f(x) dx </tex> и затем вернуться к переменной <tex> t </tex>, положив <tex> x = \phi(t) </tex>.
 
-
 
-
 
-
'''Примеры.'''
 
-
 
-
'''1.''' Для вычисления интеграла <tex> \int cos ax dx </tex> естественно сделать подстановку <tex> u = ax </tex>, тогда
 
-
 
-
::[[Изображение:Q5.png‎]]
 
-
 
-
'''2.''' Для вычисления интеграла [[Изображение:Q6.png‎]] удобно применить подстановку
 
-
<tex> u = x^3 + a^3 </tex>:
 
-
 
-
::[[Изображение:Q7.png‎]]
 
-
 
-
'''3.''' При вычислении интегралов вида [[Изображение:Q8.png‎]] полезна подстановка
 
-
<tex> u = \phi(x) </tex>:
 
-
 
-
::[[Изображение:Q9.png‎]]
 
-
Например,
 
-
::[[Изображение:Q10.png‎]]
 
-
 
-
Иногда, прежде чем применить метод интегрирования подстановкой, приходится проделать более сложные преобразования подынтегральной функции:
 
-
 
-
::[[Изображение:Q11.png‎]]
 
-
 
-
Отметим, что формулу {{eqref|2}} бывает целесообразно использовать и в обратном порядке, т.е. справа палево. Именно, иногда удобно вычисление интеграла <tex> \int f(x) dx </tex> с помощью
 
-
 
-
== Формула замены переменных в определенном интеграле ==
 
== Формула замены переменных в неопределенном интеграле ==
== Формула замены переменных в неопределенном интеграле ==
Рассмотрим свойство неопределенного интеграла, часто оказывающееся полезным при вычислении первообразных элементарных функций.
Рассмотрим свойство неопределенного интеграла, часто оказывающееся полезным при вычислении первообразных элементарных функций.
Строка 129: Строка 84:
Заметим, что для проверки результата, полученного при вычислении неопределенного интеграла, достаточно его продифференцировать, после чего должно получиться подынтегральное выражение вычисляемого иптеграла.
Заметим, что для проверки результата, полученного при вычислении неопределенного интеграла, достаточно его продифференцировать, после чего должно получиться подынтегральное выражение вычисляемого иптеграла.
 +
==Формула замены переменных в определенном интеграле ==
 +
 +
'''Теорема.'''
 +
 +
Пусть функция <tex> f(x) </tex> непрерывна на отрезке <tex> [a'; b'] </tex> , а функция <tex> \phi(t) </tex> имеет непрерывную производную <tex> \phi'(t) </tex> на отрезке <tex> [\alpha; \beta] </tex>, причём все значения <tex> x = \phi(t) </tex> при <tex> [t \in{\alpha};{\beta}] </tex> принадлежат отрезку <tex> [a'; b'] </tex>, в том числе <tex> \phi(\alpha) = a </tex> и <tex> \phi(\beta) = b </tex>. Тогда имеет место равенство
 +
 +
<p align = "center">
 +
[[Изображение:Img1.png‎]] </p>
 +
 +
'''Замечание.'''
 +
 +
Заметим, что доказанная формула, в отличие от формулы замены переменной в неопределённом интеграле, даёт нам возможность после перехода к интегралу от функции новой переменной <tex> x </tex> не возвращаться к исходному интегралу от функции переменной <tex> t </tex>. После того, как замена сделана, мы можем "забыть", как выглядел исходный интеграл, и продолжать преобразования интеграла от функции новой переменной. Именно на том, что к старой переменной возвращаться не приходится, мы и получаем экономию усилий при применении формулы замены переменной в определённом интеграле, по сравнению с тем, что получилось бы, если бы мы просто нашли первообразную и применили формулу Ньютона - Лейбница.
 +
 +
Обратим ваше внимание на важную особенность формулы: кроме подынтегрального выражения, при замене переменной меняются и пределы интегрирования. Действительно, в интеграле по новой переменной <tex> x </tex> должны быть указаны пределы изменения именно <tex> x </tex> (то есть <tex> a </tex> и <tex> b </tex>), в то время как в исходном интеграле по переменной <tex> t </tex> указаны пределы изменения <tex> t </tex> (то есть <tex> \alpha </tex> и <tex> \beta </tex>).
 +
 +
Советы о том, какая замена целесообразна для вычисления того или иного интеграла, - те же самые, что и при вычислении неопределённых интегралов, так что тут ничего нового изучать не придётся.
 +
 +
'''Пример.'''
 +
 +
Вычислим интеграл
 +
 +
::[[Изображение:Img2.png‎]]
 +
 +
Для этого сделаем замену <tex> x = \phi(t) = \sin t </tex>, откуда <tex> dx = \phi'(t)dt = \cos t dt</tex>. Кроме того, при <tex> t = 0 </tex> имеем <tex> x = \sin 0 = 0 </tex>, а при <tex> t = \frac{\pi}{2} </tex> имеем <tex> x = \sin \frac{\pi}{2} = 1 </tex>. Получаем:
 +
 +
::[[Изображение:Img2.png‎]]
=== Квадратурные формулы интерполяционного типа ===
=== Квадратурные формулы интерполяционного типа ===
 +
 +
Будем рассматривать формулы приближенного вычисления интегралов
 +
 +
::[[Изображение:W1.png‎]] (3)
 +
 +
где <tex> p(x) > 0 </tex> — заданная интегрируемая функция (так называемая весовая функция) и <tex> f(x) </tex> — достаточно гладкая функция. Рассматриваемые далее формулы имеют вид
 +
 +
::[[Изображение:W2.png‎]] (4)
 +
 +
где <tex> x \in[{a};{b}] </tex> и <tex> c_k </tex> — числа, <tex> k = 0, 1, ..., n </tex>.
 +
 +
Получим квадратурные формулы путем замены <tex> f(x) </tex> интерполяционным многочленом сразу на всем отрезке <tex> [a, b] </tex>. Полученные таким образом формулы называются ''квадратурными формулами интерполяционного типа''. Как правило, точность этих формул возрастает с увеличением числа узлов интерполирования. Формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона являются частными случаями квадратурных формул интерполяционного типа, когда <tex> n = 0, 1, 2, p(x) = 1 </tex>.
 +
 +
Получим выражения для коэффициентов квадратурных формул интерполяционного типа.
 +
Пусть на отрезке <tex> [a, b] </tex> заданы узлы интерполирования <tex> x_k, k = 0, 1, ... n </tex>. Предполагается, что среди этих узлов нет совпадающих, в остальном они могут быть расположены как угодно на <tex> [a, b] </tex>.
 +
 +
Заменяя в интеграле {{eqref|3}} функцию <tex> f(x) </tex> интерполяционным многочленом Лагранжа
 +
 +
::[[Изображение:W3.png‎]]
 +
 +
получим приближенную формулу {{eqref|4}}, где
 +
 +
::[[Изображение:W4.png‎]] (5)
 +
 +
Таким образом, формула {{eqref|4}} является квадратурной формулой интерполяционного типа тогда и только тогда, когда ее коэффициенты вычисляются по правилу {{eqref|5}}.
 +
== Формула замены переменных в кратном интеграле ==
== Формула замены переменных в кратном интеграле ==
 +
 +
Пусть <tex> F </tex> — непрерывно дифференцируемое взаимпо-однозпачное отображение открытого множества <tex> G \subset R_{x}^{n} </tex> в пространство <tex> R_{y}^{n} </tex> и его якобиан <tex> J_{F} </tex> не обращается в нуль на множестве <tex> G </tex>.
 +
 +
'''Теорема.'''
 +
 +
Если <tex> E </tex> — измеримое множество, содержащееся вместе со своим замыканием <tex> \bar{E} </tex> в открытом множестве <tex> G </tex>: <tex> E \subset \bar{E} \subset G </tex>, а функция <tex> f </tex> непрерывна на множестве <tex> \bar{F(E)} </tex>, то
 +
 +
<p align = "center">
 +
[[Изображение:A1.png‎]] (6) </p>
 +
 +
Эта формула равносильна формуле
 +
 +
<p align = "center">
 +
[[Изображение:A2.png‎]] (7) </p>
 +
 +
Действительно, ограниченная функция одновременно интегрируема или нет как на измеримом множестве, так и на его замыкании, причем в случае интегрируемости интегралы от функции по множеству и по его замыканию совпадают.
 +
 +
В нашем случае функции <tex> f(y) </tex> и [[Изображение:A3.png‎‎]] непрерывны соответственно на компактах <tex> \bar{F(E)} </tex> и <tex> \bar{E} </tex> (являющихся замыканием измеримых множеств <tex> F(E) </tex> и <tex> E </tex>), следовательно, ограничены и интегрируемы на них.
 +
 +
Таким образом, все входящие в формулы {{eqref|6}} и {{eqref|7}} интегралы существуют, а сами эти формулы равносильны. Эти формулы называются ''формулами замены переменных в кратном интеграле''.
 +
 +
Замена переменных в кратном интеграле часто существенно упрощает его исследование и вычисление. При этом в отличие от однократного интеграла нередко целью замены переменного является не упрощение подынтегральной функции, а переход к более простой области интегрирования даже ценой некоторого усложнения подынтегральной функции.
 +
 +
В качестве примера применения формулы замены переменных в кратном интеграле рассмотрим для двумерного интеграла случай перехода от декартовых координат к полярным.
 +
 +
Рассмотрим плоскость, на которой декартовы координаты обозначены <tex> r </tex>, <tex> \varphi </tex> и на ней открытый прямоугольник
 +
 +
::[[Изображение:A4.png‎]]
 +
 +
При отображении
 +
 +
::[[Изображение:A5.png‎]] (8)
 +
 +
прямоугольник <tex> G </tex> отображается на множество <tex> G </tex> плоскости с декартовыми координатами <tex> x, y </tex>, которое представляет собой круг [[Изображение:A6.png‎]], из которого удален радиус [[Изображение:A7.png‎]].
 +
 +
Отображение {{eqref|8}} и его якобиан
 +
 +
::[[Изображение:A8.png‎]]
 +
 +
непрерывно продолжаемы на замкнутый прямоугольник
 +
 +
::[[Изображение:A9.png‎]]
 +
 +
образом которого при продолженном отображении является замкнутый круг <tex> G </tex>, на котором
 +
отображение {{eqref|8}} уже не является взаимно-однозначным: взаимная однозначность нарушается на границе прямоугольника <tex> G </tex> — отрезки [[Изображение:A10.png‎]] при <tex> \varphi = 0 </tex> и <tex> \varphi = 2 \pi </tex> отображаются в один и тот же отрезок [[Изображение:A10.png‎]], <tex> y = 0 </tex>, а отрезок [[Изображение:A11.png‎]]и вовсе отображается в точку (0, 0). Якобиан продолженного отображения обращается в нуль при <tex> r = 0 </tex>.
 +
 +
<p align = "center">
 +
[[Изображение:A15.png‎]] </p>
 +
 +
Для отображения {{eqref|8}} и непрерывной на круге [[Изображение:A12.png‎]] функции <tex> f(x)(y) </tex> имеет место формула
 +
 +
::[[Изображение:A13.png‎]]
 +
 +
Приведем конкретный пример вычисления интеграла по этой формуле:
 +
 +
::[[Изображение:A14.png‎]]
 +
== Сведения об интегралах с бесконечными пределами ==
== Сведения об интегралах с бесконечными пределами ==
-
== Соотношение равномощности ==
+
 
-
== Заключение ==
+
'''Определение.'''
 +
 
 +
Пусть функция <tex> f(x) </tex> непрерывна на бесконечном промежутке <tex> [a, \infty) </tex>. ''Несобственным интегралом'' от функции <tex> f(x) </tex> на промежутке <tex> [a, \infty) </tex> называется предел [[Изображение:Z1.png‎]]
 +
и обозначается
 +
 
 +
::[[Изображение:Z2.png‎]]
 +
 
 +
'''Определение.'''
 +
 
 +
Пусть функция <tex> f(x) </tex> непрерывна на бесконечном промежутке <tex> (-\infty, b) </tex>. ''Несобственным интегралом'' от функции f(x) на промежутке <tex> (-\infty, b) </tex> называется предел [[Изображение:Z3.png‎]]
 +
и обозначается
 +
 
 +
::[[Изображение:Z4.png‎]]
 +
 
 +
'''Определение.'''
 +
 
 +
Пусть функция <tex> f(x) </tex> непрерывна на всей числовой оси. Несобственный интеграл от функции <tex> f(x) </tex> на бесконечном промежутке <tex> (-\infty, +\infty) </tex> определяется равенством
 +
 
 +
::[[Изображение:Z5.png‎]]
 +
 
 +
где <tex> c </tex> — любое число на оси <tex> Ox </tex>.
 +
 
 +
Из определений следует, что сходящиеся несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования являются конечными пределами определенных интегралов с переменными верхним или нижним пределами при стремлении этих пределов к бесконечности.
 +
 
 +
Пусть функция <tex> f(x) </tex> непрерывна и неотрицательна на бесконечном промежутке <tex> [a, \infty) </tex>. Известно, что интеграл <tex> \int_{a}^{b} f(x) dx </tex> численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной снизу отрезком <tex> [a, b] </tex> оси <tex> Ox </tex>, сверху — кривой <tex> y = f(x) </tex>, слева и справа — прямыми <tex> x = a </tex> и <tex> x = b </tex>. При возрастании <tex> b </tex> прямая <tex> x = b </tex> перемещается вправо вдоль оси <tex> Ox </tex>. Если при этом интеграл <tex> \int_{a}^{+\infty} f(x) dx </tex> сходится, то его величину принимают за площадь бесконечной трапеции, ограниченной снизу осью <tex> Ox </tex>, сверху — графиком функции <tex> y = f(x) </tex>, слева — прямой <tex> x = a </tex>.
 +
 
 +
::[[Изображение:Z6.png‎]]
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
== Литература ==
== Литература ==

Текущая версия

Содержание

Введение

Задача интегрирования функций значительно сложнее задачи дифференцирования. Здесь отсутствуют правила интегрирования произведения и частного двух функций, сложной и обратной функций. Имеются лишь некоторый приемы, позволяющие интегрировать отдельные классы функций. Методы замены переменных позволяют свести исходный интеграл к более простому с помощью перехода от старой переменной интегрирования к новой.

Формула замены переменных в неопределенном интеграле

Рассмотрим свойство неопределенного интеграла, часто оказывающееся полезным при вычислении первообразных элементарных функций.

Теорема.

Пусть функции  f(x) и  \phi(x) определены соответственно на промежутках  \Delta_x и  \Delta_y , причем  \phi(\Delta_t) \subset \Delta_x . Если функция  f имеет на  \Delta_x первообразную  F{x) и, следовательно,

Изображение:Q1.jpg‎ (1)

а функция  \phi(x) дифференцируема на  \Delta_t , то функция  f(\phi(t))\phi^,(t) имеет на  \Delta_t , первообразную  F(\phi(t)) и

Изображение:Q2.png‎ (2)


Формула (1) называется формулой интегрирования подстановкой, а именно подстановкой  \phi(t) = x . Это название объясняется тем, что если формулу (2) записать в виде

Изображение:Q3.png‎

то будет видно, что, для того чтобы вычислить интеграл Изображение:Q4.png‎), можно сделать подстановку  x = \phi(t) , вычислить интеграл  \int f(x) dx и затем вернуться к переменной  t , положив  x = \phi(t) .


Примеры.

1. Для вычисления интеграла  \int cos ax dx естественно сделать подстановку  u = ax , тогда

Изображение:Q5.png‎

2. Для вычисления интеграла Изображение:Q6.png‎ удобно применить подстановку  u = x^3 + a^3 :

Изображение:Q7.png‎

3. При вычислении интегралов вида Изображение:Q8.png‎ полезна подстановка  u = \phi(x) :

Изображение:Q9.png‎

Например,

Изображение:Q10.png‎

Иногда, прежде чем применить метод интегрирования подстановкой, приходится проделать более сложные преобразования подынтегральной функции:

Изображение:Q11.png‎

Отметим, что формулу (2) бывает целесообразно использовать и в обратном порядке, т.е. справа палево. Именно, иногда удобно вычисление интеграла  \int f(x) dx с помощью соответствующей замены переменного  x = \phi(t) свести к вычислению интеграла Изображение:Q12.png‎ (если этот интеграл в каком-то смысле «проще» исходного).

В случае, когда функция  \phi имеет обратную  \phi^{-1} , перейдя в обеих частях формулы (2) к переменной  x с помощью подстановки  t = \phi^{-1}(x) и поменяв местами стороны равенства, получим

Изображение:Q13.png‎

Эта формула называется обычно формулой интегрирования заменой переменной.

Для того чтобы существовала функция  \phi^{-1} , обратная  \phi , в дополнение к условиям теоремы достаточно, например, потребовать, чтобы на рассматриваемом промежутке  \Delta_t функция  \phi была строго монотонной. В этом случае, существует однозначная обратная функция  \phi^{-1} .

4. Интегралы вида Изображение:Q14.png‎ в том случае, когда подкоренное выражение неотрицательно на некотором промежутке, легко сводятся с помощью заме¬ны переменного к табличным.

Действительно, замечая, что Изображение:Q15.png‎, сделаем замену переменной Изображение:Q16.png‎ и положим Изображение:Q17.png‎. Тогда Изображение:Q18.png‎ и, в силу формулы (2), получим

Изображение:Q19.png‎

(перед  t^2 стоит знак плюс, если а > 0, и знак минус, если а < 0). Интеграл, стоящий в правой части равенства, является табличным. Найдя его по соответствующим формулам и вернувшись от переменной  t к переменной  x , получим искомый интеграл.

Подобным же приемом вычисляются и интегралы вида

Изображение:Q20.png‎

5. Интеграл Изображение:Q21.png‎ можно вычислить с помощью подстановки  x = a sin t . Имеем  dx = a cos t dt , поэтому

Изображение:Q22.png‎

Подставляя это выражение  t = arcsin \frac{x}{a} и замечая, что

Изображение:Q23.png‎

окончательно будем иметь

Изображение:Q24.png‎

Заметим, что для проверки результата, полученного при вычислении неопределенного интеграла, достаточно его продифференцировать, после чего должно получиться подынтегральное выражение вычисляемого иптеграла.

Формула замены переменных в определенном интеграле

Теорема.

Пусть функция  f(x) непрерывна на отрезке  [a'; b'] , а функция  \phi(t) имеет непрерывную производную  \phi'(t) на отрезке  [\alpha; \beta] , причём все значения  x = \phi(t) при  [t \in{\alpha};{\beta}] принадлежат отрезку  [a'; b'] , в том числе  \phi(\alpha) = a и  \phi(\beta) = b . Тогда имеет место равенство

Изображение:Img1.png‎

Замечание.

Заметим, что доказанная формула, в отличие от формулы замены переменной в неопределённом интеграле, даёт нам возможность после перехода к интегралу от функции новой переменной  x не возвращаться к исходному интегралу от функции переменной  t . После того, как замена сделана, мы можем "забыть", как выглядел исходный интеграл, и продолжать преобразования интеграла от функции новой переменной. Именно на том, что к старой переменной возвращаться не приходится, мы и получаем экономию усилий при применении формулы замены переменной в определённом интеграле, по сравнению с тем, что получилось бы, если бы мы просто нашли первообразную и применили формулу Ньютона - Лейбница.

Обратим ваше внимание на важную особенность формулы: кроме подынтегрального выражения, при замене переменной меняются и пределы интегрирования. Действительно, в интеграле по новой переменной  x должны быть указаны пределы изменения именно  x (то есть  a и  b ), в то время как в исходном интеграле по переменной  t указаны пределы изменения  t (то есть  \alpha и  \beta ).

Советы о том, какая замена целесообразна для вычисления того или иного интеграла, - те же самые, что и при вычислении неопределённых интегралов, так что тут ничего нового изучать не придётся.

Пример.

Вычислим интеграл

Изображение:Img2.png‎

Для этого сделаем замену  x = \phi(t) = \sin t , откуда  dx = \phi'(t)dt = \cos t dt. Кроме того, при  t = 0 имеем  x = \sin 0 = 0 , а при  t = \frac{\pi}{2} имеем  x = \sin \frac{\pi}{2} = 1 . Получаем:

Изображение:Img2.png‎

Квадратурные формулы интерполяционного типа

Будем рассматривать формулы приближенного вычисления интегралов

Изображение:W1.png‎ (3)

где  p(x) > 0 — заданная интегрируемая функция (так называемая весовая функция) и  f(x) — достаточно гладкая функция. Рассматриваемые далее формулы имеют вид

Изображение:W2.png‎ (4)

где  x \in[{a};{b}] и  c_k — числа,  k = 0, 1, ..., n .

Получим квадратурные формулы путем замены  f(x) интерполяционным многочленом сразу на всем отрезке  [a, b] . Полученные таким образом формулы называются квадратурными формулами интерполяционного типа. Как правило, точность этих формул возрастает с увеличением числа узлов интерполирования. Формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона являются частными случаями квадратурных формул интерполяционного типа, когда  n = 0, 1, 2, p(x) = 1 .

Получим выражения для коэффициентов квадратурных формул интерполяционного типа. Пусть на отрезке  [a, b] заданы узлы интерполирования  x_k, k = 0, 1, ... n . Предполагается, что среди этих узлов нет совпадающих, в остальном они могут быть расположены как угодно на  [a, b] .

Заменяя в интеграле (3) функцию  f(x) интерполяционным многочленом Лагранжа

Изображение:W3.png‎

получим приближенную формулу (4), где

Изображение:W4.png‎ (5)

Таким образом, формула (4) является квадратурной формулой интерполяционного типа тогда и только тогда, когда ее коэффициенты вычисляются по правилу (5).

Формула замены переменных в кратном интеграле

Пусть  F — непрерывно дифференцируемое взаимпо-однозпачное отображение открытого множества  G \subset R_{x}^{n} в пространство  R_{y}^{n} и его якобиан  J_{F} не обращается в нуль на множестве  G .

Теорема.

Если  E — измеримое множество, содержащееся вместе со своим замыканием  \bar{E} в открытом множестве  G :  E \subset \bar{E} \subset G , а функция  f непрерывна на множестве  \bar{F(E)} , то

Изображение:A1.png‎ (6)

Эта формула равносильна формуле

Изображение:A2.png‎ (7)

Действительно, ограниченная функция одновременно интегрируема или нет как на измеримом множестве, так и на его замыкании, причем в случае интегрируемости интегралы от функции по множеству и по его замыканию совпадают.

В нашем случае функции  f(y) и Изображение:A3.png‎‎ непрерывны соответственно на компактах  \bar{F(E)} и  \bar{E} (являющихся замыканием измеримых множеств  F(E) и  E ), следовательно, ограничены и интегрируемы на них.

Таким образом, все входящие в формулы (6) и (7) интегралы существуют, а сами эти формулы равносильны. Эти формулы называются формулами замены переменных в кратном интеграле.

Замена переменных в кратном интеграле часто существенно упрощает его исследование и вычисление. При этом в отличие от однократного интеграла нередко целью замены переменного является не упрощение подынтегральной функции, а переход к более простой области интегрирования даже ценой некоторого усложнения подынтегральной функции.

В качестве примера применения формулы замены переменных в кратном интеграле рассмотрим для двумерного интеграла случай перехода от декартовых координат к полярным.

Рассмотрим плоскость, на которой декартовы координаты обозначены  r ,  \varphi и на ней открытый прямоугольник

Изображение:A4.png‎

При отображении

Изображение:A5.png‎ (8)

прямоугольник  G отображается на множество  G плоскости с декартовыми координатами  x, y , которое представляет собой круг Изображение:A6.png‎, из которого удален радиус Изображение:A7.png‎.

Отображение (8) и его якобиан

Изображение:A8.png‎

непрерывно продолжаемы на замкнутый прямоугольник

Изображение:A9.png‎

образом которого при продолженном отображении является замкнутый круг  G , на котором отображение (8) уже не является взаимно-однозначным: взаимная однозначность нарушается на границе прямоугольника  G — отрезки Изображение:A10.png‎ при  \varphi = 0 и  \varphi = 2 \pi отображаются в один и тот же отрезок Изображение:A10.png‎,  y = 0 , а отрезок Изображение:A11.png‎и вовсе отображается в точку (0, 0). Якобиан продолженного отображения обращается в нуль при  r = 0 .

Изображение:A15.png‎

Для отображения (8) и непрерывной на круге Изображение:A12.png‎ функции  f(x)(y) имеет место формула

Изображение:A13.png‎

Приведем конкретный пример вычисления интеграла по этой формуле:

Изображение:A14.png‎

Сведения об интегралах с бесконечными пределами

Определение.

Пусть функция  f(x) непрерывна на бесконечном промежутке  [a, \infty) . Несобственным интегралом от функции  f(x) на промежутке  [a, \infty) называется предел Изображение:Z1.png‎ и обозначается

Изображение:Z2.png‎

Определение.

Пусть функция  f(x) непрерывна на бесконечном промежутке  (-\infty, b) . Несобственным интегралом от функции f(x) на промежутке  (-\infty, b) называется предел Изображение:Z3.png‎ и обозначается

Изображение:Z4.png‎

Определение.

Пусть функция  f(x) непрерывна на всей числовой оси. Несобственный интеграл от функции  f(x) на бесконечном промежутке  (-\infty, +\infty) определяется равенством

Изображение:Z5.png‎

где  c — любое число на оси  Ox .

Из определений следует, что сходящиеся несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования являются конечными пределами определенных интегралов с переменными верхним или нижним пределами при стремлении этих пределов к бесконечности.

Пусть функция  f(x) непрерывна и неотрицательна на бесконечном промежутке  [a, \infty) . Известно, что интеграл  \int_{a}^{b} f(x) dx численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной снизу отрезком  [a, b] оси  Ox , сверху — кривой  y = f(x) , слева и справа — прямыми  x = a и  x = b . При возрастании  b прямая  x = b перемещается вправо вдоль оси  Ox . Если при этом интеграл  \int_{a}^{+\infty} f(x) dx сходится, то его величину принимают за площадь бесконечной трапеции, ограниченной снизу осью  Ox , сверху — графиком функции  y = f(x) , слева — прямой  x = a .

Изображение:Z6.png‎



Литература

  1. Л.Д. Кудрявцев.  Курс математического анализа в 3 томах.
  2. З.И. Гурова, С.Н. Каролинская, А.П. Осипова.  Математический анализ. Начальный курс с примерами и задачами.
  3. А.А. Самарский, А.В. Гулин.  Численные методы М.: Наука, 1989.
  4. http://de.ifmo.ru/bk_netra/page.php?index=42&layer=1&tutindex=21#2
  5. http://sesia5.ru/vmat/gl5/21.html

См. также

Личные инструменты