Статистический анализ данных (курс лекций, К.В.Воронцов)/2009

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Версия 16:36, 24 сентября 2009

Содержание

1 Задание 1
- 1.1 Пример выполнения задания
- 1.2 Индивидуальные параметры задания
  - 1.2.1 Одновыборочный критерий Стьюдента
    - 1.2.1.1 Безродный Богдан
    - 1.2.1.2 Двойнев Александр
  - 1.2.2 Двухвыборочный критерий Стьюдента для независимых выборок

Задание 1

Необходимо провести исследование одного из классических критериев проверки статистических гипотез. Интерес представляет поведение достигаемого уровня значимости (p-value) как функции размера выборок и параметров распределения. В соответствии с индивидуальными параметрами задания необходимо сгенерировать одну или несколько выборок из указанного распределения, выполнить проверку гипотезы при помощи соответствующего критерия, а затем многократно повторить эту процедуру для различных значений параметров. При этом, в зависимости от индивидуальных особенностей задания, выборки могут как генерироваться заново для каждого значения объёма выборки $n$ , так и образовываться путём добавления одного элемента к уже имеющейся выборке объёма $n-1$ . По результатам расчётов необходимо построить следующие графики:

график зависимости достигаемого уровня значимости от значений параметров при однократном проведении эксперимента (1 балл);
график зависимости достигаемого уровня значимости от значений параметров, усреднённого по нескольким десяткам экспериментов (+1 балл);
график с эмпирическими оценками мощности критерия для разных значений параметров (+1 балл).

В качестве оценки мощности принимается доля отвержений нулевой гипотезы среди всех проверок. То есть, если эксперимент повторялся $k$ раз для каждого набора значений параметра, и в $m$ из $k$ случаев гипотеза была отвергнута на некотором фиксированном уровне значимости $\alpha$ (примем $\alpha=0.05$ ), оценкой мощности будет отношение $m/k$ .

Пример выполнения задания

Исследуем поведение классического двухвыборочного критерия Стьюдента для проверки гипотезы однородности против альтернативы сдвига. $x^n = (x_1,\ldots,x_n)\sim N(\mu_1,\sigma),\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n)\sim N(\mu_2,\sigma);$

$H_0\,:\; \mu_1=\mu_2,$

$H_1\,:\; \mu_1\neq\mu_2.$

Параметры задачи принимают следующие значения:

$\sigma = 1; \;\;\; \mu_1=0; \;\;\; \mu_2=0\,:\,0,05\,:\,3; \;\;\; n=5\,:\,1\,:\,50.$

При каждом значении $\mu_2$ выборки для разных значений $n$ генерируются независимо.

График значений достигаемого уровня значимости при однократной генерации выборок:

График значений достигаемого уровня значимости, усрёднённых по 100 экспериментам:

График значений эмпирических оценок мощности критерия при проведении 100 экспериментов:

Индивидуальные параметры задания

Одновыборочный критерий Стьюдента

$x^n \sim N(\mu,1);$

$H_0\,:\; \mu=0, \;\; H_1\,:\; \mu\neq 0.$

$\mu=0\,:\,0,05\,:\,3; \;\;\; n=5\,:\,1\,:\,50.$

Безродный Богдан

При каждом значении $\mu$ выборки для разных значений $n$ генерируются независимо.

Двойнев Александр

При каждом значении $\mu$ выборка $x^n$ получается из $x^{n-1}$ добавлением одного случайного элемента.

Двухвыборочный критерий Стьюдента для независимых выборок

$x^n \sim N(\mu_1,\sigma_1),\;\; y^n \sim N(\mu_2,\sigma_2);$

$H_0\,:\; \mu_1=\mu_2, \;\; H_1\,:\; \mu_1\neq\mu_2.$

$\mu_1=0; \;\;\; \mu_2=0\,:\,0,05\,:\,3; \;\;\; n=5\,:\,1\,:\,50.$

Коликова Екатерина

$\sigma_1=\sigma_2=1;$ при каждом значении $\mu_2$ выборки $x^n, y^n$ получаются из $x^{n-1}, y^{n-1}$ добавлением одного случайного элемента.

Задонский Дмитрий

$\sigma_1=1;\;\;\sigma_2=2;$ при каждом значении $\mu_2$ выборки $x^n, y^n$ получаются из $x^{n-1}, y^{n-1}$ добавлением одного случайного элемента.

Ломакин Василий

$\sigma_1=1;\;\;\sigma_2=2;$ при каждом значении $\mu_2$ выборки для разных значений $n$ генерируются независимо.

Алимбаев Данияр

Аманжолов Рустем

Ахламченкова Ольга

Вишняков Святослав

Гикал Александр

Голодов Валентин

Гордеев Дмитрий

Гуков Алексей

Дерябин Василий

Джумабекова Айнагуль

Дзыба Дмитрий

Задонский Максим

Карпинская Алина

Ломакина-Румянцева Екатерина

Мягков Артем

Найденов Никита

Нарышкин Андрей

Одинокова Евгения

Осокин Антон

Пасконова Ольга

Решетняк Илья

Толстихин Илья

Янгиров Ильдар

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A1%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7_%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85_%28%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81_%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9%2C_%D0%9A.%D0%92.%D0%92%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%BD%D1%86%D0%BE%D0%B2%29/2009»

@@ Строка 7: / Строка 7: @@
 * график с эмпирическими оценками [[Мощность критерия|мощности критерия]] для разных значений параметров (+1 балл).
-В качестве оценки мощности принимается доля отвержений нулевой гипотезы среди всех проверок. То есть, если эксперимент повторялся <tex>k</tex> раз для каждого набора значений параметра, и в <tex>m</tex> из <tex>k</tex> случаев гипотеза была отвергнута на некотором фиксированном уровне значимости <tex>\alpha</tex> (примем <tex>\alpha=0.5</tex>), оценкой мощности будет отношение <tex>m/k</tex>.
+В качестве оценки мощности принимается доля отвержений нулевой гипотезы среди всех проверок. То есть, если эксперимент повторялся <tex>k</tex> раз для каждого набора значений параметра, и в <tex>m</tex> из <tex>k</tex> случаев гипотеза была отвергнута на некотором фиксированном уровне значимости <tex>\alpha</tex> (примем <tex>\alpha=0.05</tex>), оценкой мощности будет отношение <tex>m/k</tex>.
 == Пример выполнения задания ==