Статистический анализ данных (курс лекций, К.В.Воронцов)/2011, ФУПМ

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

Задание 1. Исследование свойств одномерных статистических методов на модельных данных

Необходимо провести исследование одной или нескольких классических статистических техник. В соответствии с индивидуальными параметрами задания необходимо указанным способом сгенерировать одну или несколько выборок из заданного распределения, применить исследуемые статистические методы, а затем многократно повторить эту процедуру для различных значений параметров. По результатам расчётов необходимо построить требуемые в задании графики и сделать выводы.

Пример задания

Исследуем поведение классического двухвыборочного критерия Стьюдента для проверки гипотезы однородности против альтернативы сдвига при разных значениях параметров.

x^n = (x_1,\ldots,x_n)\sim N(\mu_1,\sigma),\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n)\sim N(\mu_2,\sigma);

H_0\,:\; \mu_1=\mu_2,

H_1\,:\; \mu_1\neq\mu_2.

\sigma = 1; \;\;\; \mu_1=0; \;\;\; \mu_2=0\,:\,0.05\,:\,3; \;\;\;  n=5\,:\,1\,:\,50.

При каждом значении \mu_2 выборки для разных значений n генерируются независимо.

Графики 1 и 2 иллюстрируют зависимость достигаемого уровня значимости от размера выборки и среднего \mu_2. На графике 3 показана зависимость мощности критерия от параметров задачи; мощность в каждой точке оценивается как доля экспериментов, в которых гипотеза была отвергнута на уровне значимости \alpha=0.05.

  1. Видно, что при \mu_2=0 среднее значение достигаемого уровня значимости при многократном повторении эксперимента равно 0.5 для любого размера выборки. Это логично, так как при \mu_2=0 нулевая гипотеза справедлива, и достигаемый уровень значимости имеет равномерное распределение на [0,1].
  2. При n>20 и \mu_2>1 критерий имеет достаточную мощность, и нулевая гипотеза чаще всего отвергается.
  3. При размере выборки до 50 элементов и среднем второй выборки \mu_2<0.5 критерий практически не способен отклонить гипотезу однородности, мощность в этой области изменения параметров низка.
  4. При большой разнице между средними выборок (\mu_2>2)критерий достаточно уверенно отвергает гипотезу однородности даже на выборках небольшого размера (5-6 элементов).

Задания

Влияние связок на некоторые статистические критерии

Андерсона-Дарлинга, Уилкоксона (2 шт.), Шапиро-Уилка

Варианты ранжирования в критерии Зигеля-Тьюки

Сравнение методов построение доверительных интервалов

Точность аппроксимации распределения статистик критериев

проблема Беренца-Фишера, аппроксимация ранговых критериев, критерия знаков

Литература

Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006.

Ссылки

Личные инструменты