Структурные методы анализа изображений и сигналов (курс лекций) / Задание 2

Материал из MachineLearning.

Основная статья: Структурные методы анализа изображений и сигналов (курс лекций, А.С. Конушин, Д.П. Ветров, Д.А. Кропотов, О.В. Баринова, В.С. Конушин, 2009)

Содержание

1 Задание 2. Скрытые марковские модели.
2 Комментарии к заданию
3 См. также

Задание 2. Скрытые марковские модели.

Начало: 31 октября 2009

Срок сдачи: 15 ноября 2009

Задание состоит из трех вариантов. Распределение вариантов задания по студентам см. здесь. Тем, кто хочет выполнить это задание, но по каким-либо причинам не выполнял первое задание, нужно написать письмо и получить номер варианта.

Среда реализации для всех вариантов – MATLAB. Неэффективная реализация кода может негативно отразиться на оценке.

Вариант 1

Формулировка задания

Рассматривается классическая скрытая марковская модель первого порядка, в которой полное правдоподобие задается как:

$p(X,T|\theta)=p(t_1)\prod_{n=2}^Np(t_n |t_{n-1})\prod_{n=1}^Np(x_n |t_n )$

Пусть скрытая компонента $t_n$ в произвольный момент времени может принимать значения из множества $\{1,\dots,K\}$ . Априорное распределение на значение скрытой компоненты в первый момент времени задается вектором $w_1,\ldots,w_K$ , причем все $w_i\ge 0$ и $\sum_iw_i=1$ . Распределение $p(t_n |t_{n-1})$ задается матрицей перехода $A$ размера $K\times K$ , где в $ij$ -ой позиции стоит вероятность перехода из состояния $i$ в состояние $j$ . Все элементы этой матрицы неотрицательны и сумма элементов по каждой строке равна единице. Модель генерации данных задается нормальными распределениями со своими значениями вектора математического ожидания $\mu_i$ и матрицы ковариации $\Sigma_i$ для каждого состояния. Таким образом, набор параметров модели определяется вектором $\vec{w}$ , матрицей $A$ , значениями векторов математических ожиданий и матриц ковариаций для каждого состояния $\{\mu_i,\Sigma_i\}_{i=1}^K$ .

Для выполнения задания необходимо реализовать:

Алгоритм генерации выборки из вероятностной модели СММ
EM-алгоритм обучения СММ при заданном числе состояний K.
Алгоритм Витерби для сегментации сигнала при известных значениях параметров СММ, учитывающий заданное распределение на длительность нахождения в одном состоянии

Пояснения к варианту

При использовании стандартного алгоритма Витерби, описанного в лекциях, легко показать, что априорное распределение на длительность $l_j$ нахождения в состоянии $j$ является геометрическим, т.е. вероятность находиться в этом состоянии ровно $s$ моментов времени равна

$p(l_j=s)=A_{jj}^s(1-A_{jj})$

Необходимо обобщить алгоритм Витерби на случай, когда априорное распределение на длительность нахождения в состоянии $j$ имеет вид $p(l_j=s)=\left{\begin{array}{cc}0, &\ s\not\in\[a,b\]\\ A_{jj}^{s-a}\frac{1-A_{jj}}{1-A_{jj}^{b-a+1}}, &\ s\in\[a,b\]\end{array}\right.$

Иными словами, в одном состоянии СММ не может находиться меньше $a$ моментов времени и больше $b$ моментов времени. Частным случаем может быть $a=1$ , $b=+\infty$ . В этом случае алгоритм сегментации должен давать результаты, аналогичные алгоритму Витерби.

Подсказки

Вероятность перехода из состояния $j$ в состояние $j$ начинает зависеть от длительности $s$ нахождения в состоянии $j$ и с точностью до нормировочного множителя равна

$\hat p(t_{nj}|t_{n-1,j})=\frac{p(l_j>s)}{p(l_j>s-1)}.$

Обратите внимание, что если в качестве распределения на $l_j$ использовалось бы геометрическое распределение, вероятность перехода не зависела бы от длительности нахождения в состоянии $j$ и равнялась бы $A_{jj}$ .

Тогда вероятности перехода между состояниями в силу условия нормировки равны

$\hat p(t_{ni}|t_{n-1,j})=A_{ji}\frac{p(l_j=s)}{p(l_j>s)},$

где $s$ — длительность нахождения в состоянии $j$ к моменту времени $n-1$ . Второй множитель здесь возникает из-за того, что мы точно знаем, какой длины был сегмент с $j$ -ым состоянием (раз мы из него перешли в другое состояние, значит сегмент закончился).

Окончательно вероятности переходов рассчитываем

$p(t_{ni}|t_{n-1,j})=\frac{\hat p(t_{ni}|t_{n-1,j})}{\sum_{k=1}^K \hat p(t_{nk}|t_{n-1,j})},\ \ \forall i=1,\dots,j,\ldots,K,$

чтобы соблюсти условие нормировки $\sum_{i=1}^K p(t_{ni}|t_{n-1,j})=1.$

Эти условные вероятности теперь будут подставляться в функцию Беллмана и в функцию $S(t_{n,j})$ . Чтобы их корректно рассчитать, нам придется теперь дополнительно хранить информацию о том, сколько времени мы уже находимся в текущем состоянии (т.е. величину $l_j$ для каждого $t_{n,j}$ ).

— Д.П. Ветров 19:53, 30 октября 2009 (MSK)

Спецификация реализуемых функций

Генерация выборки

[X, T] = HMM_GENERATE(N, w, A, Mu, Sigmas)

ВХОД

N — количество точек в генерируемой последовательности, uint32;

w — априорные вероятности для скрытых состояний, матрица типа double размера 1 x K;

A — матрица перехода, матрица типа double размера K x K;

Mu — центры гауссиан для каждого состояния, матрица типа double размера K x d, в которой в каждой строке стоит вектор мат.ожидания для соответствующего состояния;

Sigmas — матрицы ковариации гауссиан, массив типа double размера d x d x K, Sigmas(:,:,i) – матрица ковариации для i-ого состояния;

ВЫХОД

X — сгенерированная последовательность, матрица типа double размера N x d

T — последовательность скрытых состояний, матрица типа double размера 1 x N

Обратите внимание: в процедуре HMM_GENERATE количество признаков и количество скрытых состояний определяются неявно по размеру соответствующих элементов.

Сегментация

T = HMM_TEST(X, w, A, Mu, Sigmas, a, b)

ВХОД

X — входная последовательность, матрица типа double размера N x d, где N – количество точек в последовательности, d – количество признаков;

w — априорные вероятности, матрица типа double размера 1 x K, где K – количество скрытых состояний;

A — матрица перехода, матрица типа double размера K x K;

a — минимально возможная длина сегмента, uint16, если параметр не задан (=[] или число входных параметров = 5), то по умолчанию = 1

b — максимально возможная длина сегмента, uint16, если параметр не задан (=[] или число входных параметров <= 6), то по умолчанию = +inf

ВЫХОД

T — полученная последовательность скрытых состояний, матрица типа double размера 1 x N

Обучение

[w, A, Mu, Sigmas, core] = HMM_EM_TRAIN(X, K)

[w, A, Mu, Sigmas, core] = HMM_EM_TRAIN(X, K, InputParameters)

ВХОД

X — входная последовательность, матрица типа double размера N x d, где N – количество точек в последовательности, d – число признаков;

K — количество скрытых состояний, число типа uint16;

InputParameters — (необязательный аргумент) набор дополнительных параметров, массив типа cell вида ParameterName1, ParameterValue1, ParameterName2, ParameterValue2 и т.д. Возможны следующие параметры:

'w' — задаваемый пользователем вектор априорных вероятностей (соответственно, его не нужно определять в процессе EM-итераций);

'A' — задаваемая пользователем матрица перехода;

'Mu' — задаваемые пользователем центры гауссиан для каждого состояния;

'Sigmas' — задаваемые пользователем матрицы ковариации гауссиан;

'num_iter' — максимально допустимое число итераций EM-алгоритма;

'tol_LH' — минимально допустимая величина отклонения по значению логарифма правдоподобия на одной итерации;

ВЫХОД

w — априорные вероятности для скрытых состояний, матрица типа double размера 1 x K;

A — матрица перехода, матрица типа double размера K x K;

Core — все параметры для всех итераций EM-алгоритма, массив структур длины num_iter с полями 'w', 'A', 'Mu', 'Sigmas', 'gamma', 'LH', где gamma – матрица значений gamma для всех точек и всех состояний, LH – логарифм правдоподобия

Оформление задания

Архив, содержащий:

Readme.txt — файл с ФИО сдающего + комментарии по заданию
HMM_GENERATE.m
HMM_TEST.m
HMM_EM_TRAIN.m
Набор вспомогательных файлов при необходимости