Тригонометрическая интерполяция

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

Дискретное преобразование Фурье

В прикладных задачах часто используются различные преобразования Фурье функций непрерывного аргументся, а также представлений функций с помощью сходящихся тригонометрических рядов. Всякую непрерывно дифференцируемую фцнкцию f можно разложить в ряд Фурье:

f(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \alpha_k exp{2\pi i k x}

коэффициенты \alpha_k находятся по следущим формулам

\alpha_k=\int \limits_{0}^{1} f(x) exp {-2 \pi i k x} \dx

Но как правила функция задана только в некоторых точках или у нас есть возможность узнать ее значения только в некотором конечном числе точек. Допустим,  x_j = j/N, j=0,1,\dots , N-1 .В этом случае аналогом функции непрервной интерполяции функции будет дискретный вариант:

 f(x_j)=\sum_{k=0}^{N-1} \alpha_k exp{2\pi \i k x_j}, 0<=j<N

Постановка задачи

Интерполирование функции — приближенное или нахождение точной величины по известным значениям функции в конечном числе точек. В случае тригонометрической интерполяции аппроксимирующая функция ищется в виде

\begin{matrix} f_n(x)=a_0 & + & a_1 \cos x + a_2 \cos 2x+\dots + a_n \cos nx + \\ \ &+&b_1 \sin x + b_2 \sin 2x+\dots + b_n \sin nx . \end{matrix}

Таким образом, ищется приближение функции тригонометрическими полиномами в смысле Фурье.

Потребность в подобной интерполяции возникает в случае, когда приближаемая функция по своей природе предполагается периодической с известным периодом, например 2π.

Погрешность вычислений

Пример использования

Список литературы

Личные инструменты