|
|
| Строка 1: |
Строка 1: |
| - | __NOTOC__
| + | {{UnderConstruction|Формулировка задания находится в стадии формирования. Просьба не приступать к выполнению задания, пока это предупреждение не будет удалено. [[Участник:Anton|Anton]] 18:11, 7 апреля 2011 (MSD)}} |
| | | | |
| - | [[Байесовские методы машинного обучения (курс лекций, Д.П. Ветров, Д.А. Кропотов)|Перейти к основной странице спецкурса]]
| + | {{TOCright|300px}} |
| | | | |
| - | '''Начало выполнения задания''': 22 ноября 2010 г.<br>
| + | [[Структурные методы анализа изображений и сигналов (курс лекций)|Перейти к основной странице курса]] |
| - | '''Срок сдачи''': {{важно|6 декабря 2010 г., 23:59.}}
| + | |
| | | | |
| - | ==Модель Изинга==
| + | Задание состоит из двух вариантов. |
| - | [[Изображение:BayesML2010_task2_rectGrid.PNG|200px|thumb|Прямоугольная система соседства]]
| + | |
| - | [[Изображение:BayesML2010_task2_triGrid.PNG|200px|thumb|Треугольная система соседства]]
| + | |
| - | '''Модель Изинга''' — математическая модель статистической физики, предназначенная для описания намагничивания материала.
| + | |
| - | Каждой вершине кристаллической решётки (рассматриваются не только трёхмерные, но и одно- и двумерные случаи) сопоставляется число, называемое спином и равное +1 или −1 («поле вверх»/«поле вниз»). Каждому из <tex>2^N</tex> возможных вариантов расположения спинов (где N — число атомов решётки) приписывается энергия, получающаяся из попарного взаимодействия спинов соседних атомов J и действия внешнего магнитного поля H:<br>
| + | |
| - | <tex>
| + | |
| - | E(X) = -\left( \sum_{(i,j) \in E} J_{ij}x_i x_j + \sum_{i=1}^N H_i x_i \right),
| + | |
| - | </tex><br>
| + | |
| - | где <tex>x_i</tex> - переменные, соответствующие спинам, E - система соседства (в данном задании рассматривается 2 системы соседства: прямоугольная и треугольная) . Вероятность нахождения в каждом конкретном состоянии задается распределением Гиббса:<br>
| + | |
| - | <tex>
| + | |
| - | P(X) = \frac{1}{Z} \exp{\left( -\beta E(X) \right)}, \qquad \beta = \frac{1}{kT},
| + | |
| - | </tex><br>
| + | |
| - | где Z - нормировочная константа, T - температура, k - параметр.
| + | |
| | | | |
| - | Если <tex>J_{ij} = 1 </tex>,то вещество называется ферромагнетиком. Если <tex>J_{ij} = -1</tex>, то вещество называется антиферромагнетиком.
| + | Среда реализации для всех вариантов – MATLAB. Неэффективная реализация кода может негативно отразиться на оценке. |
| | | | |
| - | ==Вариант 1== | + | == Вариант 1 == |
| - | ===Описание задания=== | + | |
| - | Провести исследование модели Изинга методом Монте-Карло. В качестве алгоритма генерации выборки использовать метод Гиббса.
| + | === Формулировка задания === |
| - | Генерацию каждого элемента решетки проводить по следующим формулам:
| + | |
| - | <br><tex>
| + | === Спецификация реализуемых функций === |
| - | p(x_i = 1 | X_{/\{i\}}) = \frac{1}{1 + \exp(-2\beta b_i)}, \qquad b_i = \sum_{j: (i, j) \in E} J_{ij}x_j + H_i,
| + | |
| - | </tex><br>
| + | === Рекомендации по выполнению задания === |
| - | <tex>
| + | |
| - | p(x_i = -1 | X_{/\{i\}}) = \frac{\exp(-2\beta b_i)}{1 + \exp(-2\beta b_i)}.
| + | === Данные для выполнения задания === |
| - | </tex>
| + | |
| | | | |
| - | ===Задание===
| |
| - | [[Изображение:BayesML2010_task2_example.PNG|200px|thumb|Пример иллюстрации состояния модели Изинга размера 20 на 20.]]
| |
| - | # Вывести формулы для метода Гиббса генерации выборки методом Гиббса (вывод вставить в отчет).
| |
| - | # Реализовать процедуру подсчета математического ожидания и дисперсии энергии (нормированной на количество спинов N), математического ожидания квадрата общей намагниченности модели <tex>\mu = \left(\sum_{i=1}^N x_i \right) / N</tex> методов Гиббса (с заданным числом итераций) для заданных параметров <tex>\beta</tex> и заданного внешнего магнитного поля H. (Требования по эффективности реализации: 1000 итераций метода Гиббса для решетки размером 20 на 20 и 100 значений параметра <tex>\beta</tex> должны выполнятся не более 100 секунд.)
| |
| - | # Построить графики зависимости <tex>\mathbb{E}E, \sqrt{\mathbb{D}E}, \sqrt{\mathbb{E}(\mu^2)}</tex> от температуры для треугольной и четырехугольной систем соседства, ферромагнетика и антиферромагнетика (всего 4 модели). Проинтерпретировать полученные результаты (в частности идентифицировать, локализовать и изучить фазовый переход). Для построения графиков использовать следующие значения параметров:
| |
| - | #*размер решетки 20 на 20 (N = 400)
| |
| - | #*<tex>k = 1</tex>
| |
| - | #*10000 итераций метода Гиббса для каждой из температур
| |
| - | #*для ферромагнетика <tex>J_{ij} = 1</tex>, для антиферромагнетика <tex>J_{ij} = -1</tex>
| |
| - | #*внешнее магнитное поле <tex>H_i = 0</tex>
| |
| - | #*температуры T = 0.5 : 0.1 : 10;
| |
| - | #Для ферромагнетика с четырехугольной системой связности привести (картинками) характерные состояния для разных температур в окрестности фазового перехода. Проинтерпретировать результаты. Рассмотреть не менее одного примера для не менее 5 разных температур. Параметры генерации те же, что и в пункте 3.
| |
| - | #Исследовать влияние фазового перехода в ферромагнетике с прямоугольной системой соседства от равномерного внешнего магнитного поля. Параметры модели взять такие же как в пункте 3.
| |
| - | #Выполнить пункт 4 в присутствии внешнего магнитного поля следующей структуры: на половине решетки H = 1, на другой половине H = -1.
| |
| - | #Сравнить результаты применения метода Монте-Карло с результатами применения вариационного подхода. Рассмотреть ферромагнетик с прямоугольной системой соседства. Реализацию вариационного подхода взять у товарища, выполняющего вариант 2. Привести графики математического ожидания и дисперсии энергии, корня из математического ожидания намагниченности в одних осях для двух подходов.
| |
| | === Оформление задания === | | === Оформление задания === |
| | | | |
| - | Выполненное задание следует отправить письмом по адресу ''bayesml@gmail.com'' с заголовком письма «Задание 2 <Номер_группы> <ФИО>». Убедительная просьба присылать выполненное задание '''только один раз''' с окончательным вариантом. Новые версии будут рассматриваться только в самом крайнем случае.
| + | == Вариант 2 == |
| | | | |
| - | В качестве программной среды реализации настоятельно рекомендуется использовать MATLAB. Тем не менее, никаких ограничений на выбор среды реализации не накладывается.
| + | === Формулировка задания === |
| | | | |
| - | Присланный вариант задания должен содержать в себе:
| + | === Спецификация реализуемых функций === |
| - | * ФИО исполнителя, номер группы и номер варианта задания.
| + | |
| - | * Текстовый файл в формате PDF, содержащий описание проведенных исследований.
| + | |
| - | * Все исходные коды с необходимыми комментариями.
| + | |
| - | * Дополнительные комментарии или материалы, если необходимо.
| + | |
| | | | |
| - | Исходные коды должны включать в себя реализацию метода Гиббса для прямоугольной и треугольной систем соседств в виде отдельных функций. Прототипы функций имеют следующий вид:<br>
| + | === Рекомендации по выполнению задания === |
| - | {|class="standard"
| + | |
| - | !''Метод Гиббса''
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | |[E, magnet, samples] = generateIsing4(vS, hS, J, H, iter, betaAll) - прямоугольная система соседства
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | |[E, magnet, samples] = generateIsing6(vS, hS, J, H, iter, betaAll) - треугольная система соседства
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | |ВХОД
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | |
| + | |
| - | {|border="0"
| + | |
| - | |vS — размер решетки по вертикали;
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | |hS — размер решетки по горизонтали;
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | |J - параметр J модели. Все <tex>J_{ij}</tex> одинаковы и равны J.
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | |H - внешнее магнитное поле, матрица размера vS на hS.
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | |iter - количество итераций метода Гиббса
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | |betaAll - вектор значений параметра <tex>\beta</tex>, для которых надо применить метод Гиббса. Длина вектора - <tex>\beta_0</tex>.
| + | |
| - | |}
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | |ВЫХОД
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | |
| + | |
| - | {|
| + | |
| - | |E - значения энергий на 1 спин, массив размера iter на <tex>\beta_0</tex>.
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | |magnet — значения магнетизации на 1 спин, массив размера iter на <tex>\beta_0</tex>.
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | |samples — примеры положений модели для всех температур, массив размера vS на hS на <tex>\beta_0</tex>.
| + | |
| - | |}
| + | |
| - | |}
| + | |
| | | | |
| - | ===Рекомендации=== | + | === Данные для выполнения задания === |
| - | *Лучше реализовывать метод векторно по параметру <tex>\beta</tex>, то есть проводить вычисления для всех температур сразу.
| + | |
| - | *Начинать метод Гиббса лучше с наиболее вероятной для данной модели конфигурации.
| + | |
| - | *Для оценки глобальных параметров лучше выкинуть значения, полученные на первой трети итераций метода Гиббса.
| + | |
| - | *В качестве примера ситуации можно взять ситуацию, сгенерированную на последней итерации метода Гиббса.
| + | |
| | | | |
| | + | === Оформление задания === |
| | | | |
| - | ==Вариант 2==
| + | [[Категория:Учебные курсы]] |
| | + | [[Категория:Байесовские методы]] |
Среда реализации для всех вариантов – MATLAB. Неэффективная реализация кода может негативно отразиться на оценке.
