Центральное множество

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
 
(15 промежуточных версий не показаны.)
Строка 1: Строка 1:
 +
Центральное множество является математической формализацией понятия [[Скелет|скелета объекта]] для пространств произвольной размерности.
== Определение ==
== Определение ==
Пусть <tex> \Omega </tex> --- связное открытое ограниченное подмножество <tex> \mathbb{R}^n </tex>.
Пусть <tex> \Omega </tex> --- связное открытое ограниченное подмножество <tex> \mathbb{R}^n </tex>.
Строка 6: Строка 7:
Максимальный шар множества <tex>\Omega</tex> также называется '''максимальным пустым шаром''' или '''максимальным вписанным шаром'''.
Максимальный шар множества <tex>\Omega</tex> также называется '''максимальным пустым шаром''' или '''максимальным вписанным шаром'''.
-
'''Центральным множеством''' ('''central set''') или '''скелетом''' ('''skeleton''') <tex>\Omega</tex> называется множество центров пустых шаров <tex>\Omega</tex>.
+
'''Центральным множеством''' ('''central set''') или '''[[Скелет|скелетом]]''' ('''skeleton''') <tex>\Omega</tex> называется множество <tex>S_{\Omega}</tex> центров пустых шаров <tex>\Omega</tex>.
== Пример ==
== Пример ==
-
При <tex> n=2 </tex> центральное множество (скелет) представляет собой множество центров максимальных пустых кругов [[плоская фигура|плоской фигуры]].
+
При <tex> n=2 </tex> центральное множество ([[Скелет|скелет]]) представляет собой множество центров максимальных пустых кругов [[плоская фигура|плоской фигуры]].
-
[[Файл:CentralSet2D.png|thumb|Центральное множество (скелет) плоской фигуры]]
+
[[Изображение:CentralSet2D.png|thumb|Центральное множество (скелет) плоской фигуры]]
 +
 
 +
== Связь между медиальным и центральным множествами ==
 +
Для любого связного открытого ограниченного множества <tex>\Omega\subset\mathbb{R}^n</tex> верно, что его [[Медиальное множество|медиальное множество]] <tex>M_{\Omega}</tex> является подмножеством его центрального множества: <tex> M_{\Omega}\subseteq S_{\Omega} </tex>.
 +
 
 +
При <tex> n=2 </tex>, <tex> M_{\Omega}=S_{\Omega} </tex>, если <tex>\Omega</tex> --- многоугольная фигура.
== См. также ==
== См. также ==
Строка 22: Строка 28:
[[Категория:Медиальное представление формы]]
[[Категория:Медиальное представление формы]]
 +
[[en|Central set]]

Текущая версия

Центральное множество является математической формализацией понятия скелета объекта для пространств произвольной размерности.

Содержание

Определение

Пусть  \Omega --- связное открытое ограниченное подмножество  \mathbb{R}^n .

Замкнутая шаровая окрестность B_r(x)\subseteq\overline{\Omega} точки  x\in\overline{\Omega} называется максимальным шаром множества \Omega, если для любой точки y\in\Omega и любой ее замкнутой шаровой окрестности B_q(y)\subseteq\overline{\Omega} из того, что B_r(x)\subseteq B_q(y) следует, что B_r(x)=B_q(y).

Максимальный шар множества \Omega также называется максимальным пустым шаром или максимальным вписанным шаром.

Центральным множеством (central set) или скелетом (skeleton) \Omega называется множество S_{\Omega} центров пустых шаров \Omega.

Пример

При  n=2 центральное множество (скелет) представляет собой множество центров максимальных пустых кругов плоской фигуры.

Центральное множество (скелет) плоской фигуры
Центральное множество (скелет) плоской фигуры

Связь между медиальным и центральным множествами

Для любого связного открытого ограниченного множества \Omega\subset\mathbb{R}^n верно, что его медиальное множество M_{\Omega} является подмножеством его центрального множества:  M_{\Omega}\subseteq S_{\Omega} .

При  n=2 ,  M_{\Omega}=S_{\Omega} , если \Omega --- многоугольная фигура.

См. также

Литература

  • Chazal F., Soufflet R. Stability and finiteness properties of Medial Axis and Skeleton // Journal of Dynamic and Control Systems, Vol. 10, No.2, 2004. pp. 149 -- 170. [1]
  • Yomdin Y., On the local structure of a generic central set // Compositio Matematica, Vol. 43, No. 2, 1981, pp. 225 -- 238. [2]Central set
Личные инструменты