Центральное множество

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Центральное множество является математической формализацией понятия скелета объекта для пространств произвольной размерности.

Содержание

Определение

Пусть  \Omega --- связное открытое ограниченное подмножество  \mathbb{R}^n .

Замкнутая шаровая окрестность B_r(x)\subseteq\overline{\Omega} точки  x\in\overline{\Omega} называется максимальным шаром множества \Omega, если для любой точки y\in\Omega и любой ее замкнутой шаровой окрестности B_q(y)\subseteq\overline{\Omega} из того, что B_r(x)\subseteq B_q(y) следует, что B_r(x)=B_q(y).

Максимальный шар множества \Omega также называется максимальным пустым шаром или максимальным вписанным шаром.

Центральным множеством (central set) или скелетом (skeleton) \Omega называется множество центров пустых шаров \Omega.

Пример

При  n=2 центральное множество (скелет) представляет собой множество центров максимальных пустых кругов плоской фигуры.

Центральное множество (скелет) плоской фигуры
Центральное множество (скелет) плоской фигуры

Связь между медиальным и центральным множествами

Для любого связного открытого ограниченного множества \Omega\subset\mathbb{R}^n верно, что его медиальное множество является подмножеством его центрального множества:  M_{\Omega}\subseteq S_{\Omega} .

При  n=2 M_{\Omega}=S_{\Omega} </tex>, если \Omega --- многоугольная фигура.

См. также

Литература

  • Chazal F., Soufflet R. Stability and finiteness properties of Medial Axis and Skeleton // Journal of Dynamic and Control Systems, Vol. 10, No.2, 2004. pp. 149 -- 170. [1]
  • Yomdin Y., On the local structure of a generic central set // Compositio Matematica, Vol. 43, No. 2, 1981, pp. 225 -- 238. [2]