Экспоненциальное сглаживание
Материал из MachineLearning.
| Строка 2: | Строка 2: | ||
Выявление и анализ тенденции временного ряда часто производится с помощью его выравнивания или сглаживания. Экспоненциальное сглаживание — один из простейших и распространенных приемов выравнивания ряда. Экспоненциальное сглаживание можно представить как фильтр, на вход которого последовательно поступают члены исходного ряда, а на выходе формируются текущие значения экспоненциальной средней. | Выявление и анализ тенденции временного ряда часто производится с помощью его выравнивания или сглаживания. Экспоненциальное сглаживание — один из простейших и распространенных приемов выравнивания ряда. Экспоненциальное сглаживание можно представить как фильтр, на вход которого последовательно поступают члены исходного ряда, а на выходе формируются текущие значения экспоненциальной средней. | ||
| - | Пусть <tex>X=\{x_1, \dots x_T\}</tex> -временной ряд. | + | Пусть <tex>X=\{x_1, \dots x_T\}</tex> - временной ряд. |
Экспоненциальное сглаживание ряда осуществляется по рекуррентной формуле: | Экспоненциальное сглаживание ряда осуществляется по рекуррентной формуле: | ||
| - | <tex>S_t=\alpha x_t + \left( 1-\alpha \right) | + | <tex>S_t=\alpha x_t + \left( 1-\alpha \right) S_{t-1},\;</tex>, <tex> \alpha \in (0,1)</tex>. |
Чем меньше α, тем в большей степени фильтруются, подавляются колебания исходного ряда и шума. | Чем меньше α, тем в большей степени фильтруются, подавляются колебания исходного ряда и шума. | ||
| - | Если последовательно использовать рекуррентное это соотношение, то экспоненциальную среднюю <tex>S_t</tex> можно выразить через значения временного ряда | + | Если последовательно использовать рекуррентное это соотношение, то экспоненциальную среднюю <tex>S_t</tex> можно выразить через значения временного ряда X. |
| - | <tex>S_t =\alpha x_t + (1-\alpha)\left( \alpha x_{t-1} + (1-\alpha)S_{t-2}\right)= \dots = \alpha \sum_{i=0}^t-1 (1-\alpha)^i x_{t-i} + (1-\alpha)^t S_0</tex>. | + | <tex>S_t =\alpha x_t + (1-\alpha)\left( \alpha x_{t-1} + (1-\alpha)S_{t-2}\right)= \dots = \alpha \sum_{i=0}^{t-1} (1-\alpha)^i x_{t-i} + (1-\alpha)^t S_0</tex>. |
Если к моменту начала сглаживания существуют более ранние данные, то в качестве начального | Если к моменту начала сглаживания существуют более ранние данные, то в качестве начального | ||
Версия 15:15, 11 января 2009
|
Выявление и анализ тенденции временного ряда часто производится с помощью его выравнивания или сглаживания. Экспоненциальное сглаживание — один из простейших и распространенных приемов выравнивания ряда. Экспоненциальное сглаживание можно представить как фильтр, на вход которого последовательно поступают члены исходного ряда, а на выходе формируются текущие значения экспоненциальной средней.
Пусть - временной ряд.
Экспоненциальное сглаживание ряда осуществляется по рекуррентной формуле:
,
.
Чем меньше α, тем в большей степени фильтруются, подавляются колебания исходного ряда и шума.
Если последовательно использовать рекуррентное это соотношение, то экспоненциальную среднюю можно выразить через значения временного ряда X.
.
Если к моменту начала сглаживания существуют более ранние данные, то в качестве начального
значения можно использовать арифметическую среднюю всех имеющихся данных или какой-то их части.
После появления работ Р. Брауна экспоненциальное сглаживание часто используется для решения задачи краткосрочного прогнозирования временных рядов.
Постановка задачи
Пусть задан временной ряд: .
Необходимо решить задачу прогнозирования временного ряда, т.е. найти
- горизонт прогнозирования, необходимо, чтобы
Для того, чтобы учитывать устаревание данных, введем невозрастающую последовательность весов
, тогда
Модель Брауна
Предположим, что D - невелико (краткосрочный прогноз), то для решения такой задачи используют модель Брауна .
.
Если рассматривать прогноз на 1 шаг вперед, то - погрешность этого прогноза, а новый прогноз
получается в результате корректировки
предыдущего прогноза с учетом его ошибки - суть адаптация.
При краткосрочном прогнозировании желательно как можно быстрее отразить новые изменения и в то же время как можно лучше «очистить» ряд от случайных колебаний.
Т.о., следует увеличивать вес более свежих наблюдений: .
С другой стороны, для сглаживания случайных отклонений α нужно уменьшить: .
Т.о. эти два требования находятся в противоречии. Поиск компромиссного значения α составляет задачу оптимизации модели. Обычно, α берут из интервала (0,1/3), в этом случае ряд стационарен и использование модели Брауна оправдано.
Примеры
Работа экспоненциального сглаживания при α=0.2 на данных ежемесячных отчетов по продажам иностранной автомобильной марки в России за период с января 2007 по октябрь 2008. Отметим резкие падения в январе и феврале, когда продажи традиционно снижаются и повышения в начале лета.
Проблемы
Модель работает только при небольшом горизонте прогнозирования. Не учитываются тренд и сезонные изменения.
Литература
Лукашин Ю. П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов. — М.: Финансы и статистика, 2003. Brown R.G. Smoothing forecasting and prediction of discrete time series. - N.Y., 1963. Brown R.G., Meyer R.F. The fundamental theorum of exponential smoothing. Oper. Res. - 1961. - Vol.9. -№ 5.
См. также
Модель Хольта — учитываются линейный тренд без сезонности.
Модель Хольта-Уинтерса — учитываются мультипликативный тренд и сезонность.
Модель Тейла-Вейджа — учитываются аддитивный тренд и сезонность.
