Экстраполяция Ричардсона, оценки по Рунге и Эйткену, вычисление интегралов с заданной точностью
Материал из MachineLearning.
(→Изложение метода) |
(→Изложение метода) |
||
Строка 43: | Строка 43: | ||
:<tex>I(\frac{h}{r}) = I_0 + a_1\,\frac{h^{\alpha _1}}{r^{\alpha 1}} + a_2\,\frac{h^{\alpha _2}}{r^{\alpha 2}} + \ldots</tex> | :<tex>I(\frac{h}{r}) = I_0 + a_1\,\frac{h^{\alpha _1}}{r^{\alpha 1}} + a_2\,\frac{h^{\alpha _2}}{r^{\alpha 2}} + \ldots</tex> | ||
- | Чтобы избавиться от степени <tex>h^{\alpha _1}</tex>, составляющей ошибку (ибо среди всех слагаемых, составляющих ошибку, слагамое при <tex>h^{\alpha _1}</tex> является наибольшим) вычислим величину <tex>r^{\alpha _1}\,I(\frac{h}r) - I(h)</tex>. Имеем: | + | Чтобы избавиться от степени <tex>h^{\alpha _1}</tex>, составляющей ошибку (ибо среди всех слагаемых, составляющих ошибку, слагамое при <tex>h^{\alpha _1}</tex> является наибольшим), вычислим величину <tex>r^{\alpha _1}\,I(\frac{h}r) - I(h)</tex>. Имеем: |
:<tex>r^{\alpha _1}\,I(\frac{h}{r}) - I(h) = r^{\alpha _1}\,I_0 - I_0 + a_1 h^{\alpha _1} - a_1 h^{\alpha _1} + a_2\,\frac{h^{\alpha _2}}{r^{\alpha _2 - \alpha _1}} - a_2 h^{\alpha _2} + \ldots</tex> | :<tex>r^{\alpha _1}\,I(\frac{h}{r}) - I(h) = r^{\alpha _1}\,I_0 - I_0 + a_1 h^{\alpha _1} - a_1 h^{\alpha _1} + a_2\,\frac{h^{\alpha _2}}{r^{\alpha _2 - \alpha _1}} - a_2 h^{\alpha _2} + \ldots</tex> |
Версия 06:17, 19 октября 2008
Содержание |
Введение
Постановка математической задачи
Задача численного интегрирования состоит в приближенном нахождении значения интеграла
где - заданная и интегрируемая на функция. В качестве приближенного значения рассматривается число
где - числовые коэффициенты и - точки отрезка , . Приближенное равенство
называется квадратурной формулой, а сумма вида (2) - квадартурной суммой. Точки называются узлами квадратурной формулы. Разность
называется погрешностью квадратурной формулы. Погрешность зависит как от расположения узлов, так и от выбора коэффициентов.
Изложение метода
Предположим, что для вычисления интеграла (1) отрезок разбит на равных отрезков длины и на каждом частичном отрезке применяется одна и та жа квадратурная формула. Тогда исходный интеграл заменяется некоторой квадратурной суммой , причем возникающая погрешность зависит от шага сетки . Для некоторых квадратурных формул удается получить разложение погрешности по степеням . Предположим, что для данной квадратурной суммы существует разложение:
- ,
где и коэффициенты не зависят от . При этом величины предполагаются известными. Теперь предположим:
Чтобы избавиться от степени , составляющей ошибку (ибо среди всех слагаемых, составляющих ошибку, слагамое при является наибольшим), вычислим величину . Имеем:
Отсюда
то есть имеем более точное приближение к интегралу .
Таким образом, рекуррентную формулу можно записать в виде: