Участник:Slimper/Песочница

Материал из MachineLearning.

< Участник:Slimper(Различия между версиями)

Текущая версия

Критерий Бартелса (Bartels test) — непараметрический статистический критерий, используемый для проверки случайности последовательности наблюдаемых значений. Критерий является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения. Критерий Бартелса можно применять для анализа регрессионных остатков. Также его можно применять при анализе временных рядов для выявления тренда.

Содержание

1 Примеры задач
2 Описание критерия
- 2.1 Асимптотический критерий
3 Свойства критерия Бартелса
4 История
5 Литература
6 См. также
7 Ссылки

Примеры задач

Пример 1. Ряд значений состоит из подсчитанного на протяжении нескольких лет количества туристов, посещавших страну в течение года. Требуется установить, являются ли число туристов, случайным, или оно подчиняется какой-то закономерности.

Описание критерия

Заданы выборка $x^n = (x_1,\ldots,x_n),x_i \in \mathbb{R}$ .

Нулевая гипотеза $H_0:\;$ выборка $x^n$ простая, то есть все наблюдения $x_i$ — независимы и одинаково распределены.

Статистика критерия:

Построить вариационный ряд выборки $x^{(1)}(x_1,\ldots,x_n)$ и найти ранги $r(x_i)$ всех элементов.
Статистика критерия Бартелса вычисляется по формуле:

$B = \frac{ \sum_{i = 1}^n (r(x_i) - r(x_{i + 1}) )^2 }{ \sum(R_i - \frac{n + 1}{2})^2}$

Варианты критерия (при уровне значимости $\alpha$ ):

двусторонний критерий (против альтернативы, что данные не случайны)

если $B \in \left[ B_{n,\alpha/2},\, B_{n,1-\alpha/2} \right]$ , то нулевая гипотеза отвергается;

левосторонний критерий(против альтернативы, что наблюдения положительно коррелированы)

если $B < B_{n,\alpha}$ , то нулевая гипотеза отвергается;

правосторонний критерий(против альтернативы, что наблюдения отрицательно коррелированы)

если $B > B_{n,\alpha}$ , то нулевая гипотеза отвергается;

Здесь $B_{n,\alpha}$ -- это $\alpha$ -квантиль табличного распределения статистики Бартелса с параметром $n$ .

Асимптотический критерий

Распределение статистики Бартелса асимптотически нормально с матожиданием $\mathbb{E}B = 2$ и дисперсией

$\mathbb{D}B = \frac{4(n - 2)(5n^2 - 2n - 9)}{5n(n + 1)(n - 1)^2}$

Поэтому при $n \ge 20$ используется нормированная статистика Бартелса

$B' = \frac{B - \mathbb{E}B}{\sqrt{\mathbb{D}B} }$

Свойства критерия Бартелса

Бартелс с помошью численного моделирования показал , что во многих случаях критерий Бартелса имеет большую мощность, чем критерий серий.

История

Критерий был предложен Бартелсом в 1982 году.

Литература

Gibbons J. D., Chakraborti S. Nonparametric Statistical Inference, 4th Ed. — CRC, 2003 — 608 с.
Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.

См. также

Проверка статистических гипотез — о методологии проверки статистических гипотез.
Статистика (функция выборки)
Критерий серий — другой критерий для проверки случайности ряда наблюдений

Ссылки

Данная статья является непроверенным учебным заданием.

Студент: Участник:Slimper

Преподаватель: Участник:Vokov

Срок: 08 января 2010

До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Slimper/%D0%9F%D0%B5%D1%81%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0»

Категория: Непроверенные учебные задания

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-==Постановка задачи оптимизации==
+'''Критерий Бартелса (Bartels test)''' — [[непараметрический статистический критерий]], используемый для проверки случайности последовательности наблюдаемых значений. Критерий является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения. Критерий Бартелса можно применять для анализа регрессионных остатков.
-Пусть задано множество <tex> X \subset R^n </tex> и на этом множестве определена ''целевая функция'' (''objective function'') <tex>f : R^n \mapsto R</tex>. Задача оптимизации состоит в нахождении на множестве <tex>X</tex>  точной верхней или точной нижней грани ''целевой функции''.
+Также его можно применять  при анализе [[временной ряд|временных рядов]] для выявления тренда.
-Множество точек, на которых достигается нижняя грань целевой функции обозначается <tex>X_* </tex>. <br/>
-<tex>X_* = \{x \in X| f(x) = inf \limits_{x \in X} f(x) \} </tex>
+== Примеры задач ==
-<br/>
+'''Пример 1.'''
-Если <tex> X = R^n </tex>, то задача оптимизации называется ''безусловной'' (''unconstrained'').
+Ряд значений состоит из  подсчитанного на протяжении нескольких лет количества туристов, посещавших страну в течение года.
-Если <tex> X \neq R^n </tex>, то задача оптимизации называется ''условной'' (''constrained'').
+Требуется установить, являются ли число туристов,  случайным, или оно
+подчиняется какой-то закономерности.
+== Описание критерия ==
+Заданы выборка <tex>x^n = (x_1,\ldots,x_n),x_i \in \mathbb{R}</tex>.
+'''[[Нулевая гипотеза]]''' <tex>H_0:\;</tex> выборка <tex>x^n</tex> [[простая выборка|простая]], то
+есть все наблюдения <tex>x_i</tex> — независимы и одинаково распределены.
+'''Статистика критерия:'''
+# Построить [[вариационный ряд]] выборки <tex>x^{(1)}(x_1,\ldots,x_n)</tex> и найти ранги <tex>r(x_i)</tex> всех элементов.
+# Статистика критерия Бартелса вычисляется по формуле:
+::<tex>B = \frac{ \sum_{i = 1}^n (r(x_i) - r(x_{i + 1}) )^2 }{ \sum(R_i - \frac{n + 1}{2})^2}</tex>
+Варианты критерия (при [[уровень значимости|уровне значимости]] <tex>\alpha</tex>):
+*  двусторонний критерий (против альтернативы, что данные не случайны)
+::если <tex> B \in \left[ B_{n,\alpha/2},\, B_{n,1-\alpha/2} \right] </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
+* левосторонний критерий(против альтернативы, что наблюдения положительно коррелированы)
+::если <tex> B < B_{n,\alpha} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
+* правосторонний критерий(против альтернативы, что наблюдения отрицательно коррелированы)
+::если <tex> B > B_{n,\alpha} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
+Здесь <tex> B_{n,\alpha} </tex> -- это <tex>\alpha</tex>-[[квантиль]] табличного распределения  статистики Бартелса с параметром <tex>n</tex>.
+===Асимптотический критерий ===
+Распределение статистики Бартелса асимптотически нормально
+с матожиданием <tex>\mathbb{E}B = 2</tex> и дисперсией
+::<tex> \mathbb{D}B = \frac{4(n - 2)(5n^2 - 2n - 9)}{5n(n + 1)(n - 1)^2} </tex>
+Поэтому  при
+<tex>n \ge 20</tex> используется нормированная статистика Бартелса
+::<tex>B' = \frac{B - \mathbb{E}B}{\sqrt{\mathbb{D}B} } </tex>
+== Свойства критерия Бартелса==
+Бартелс с помошью численного моделирования показал , что во многих случаях критерий Бартелса имеет большую мощность, чем [[Критерий Вальда-Вольфовица|критерий серий]].
+== История ==
+Критерий был предложен Бартелсом в 1982 году.
-==Метод сопряжённых направлений==
-''Метод сопряжённых направлений'' (''conjugate direction method'') первоначально был разработан для решения систем линейных уравнений с положительно определённой матрицей. Позже этот метод обобщили для решения безусловных задач оптимизации в <tex>R^n</tex>
-==Минимизация квадратичного функционала==
-Рассмотрим сначала метод сопряжённых градиентов для решения следующей задачи оптимизации:
-<tex>f(x) = \frac{1}{2}<Ax, x> - <b, x> \to inf, \quad x \in R^n</tex> <br/>
-<tex>A</tex> - симметричная положительно определённая матрица размера <tex>n \times n</tex>.
-Такая задача оптимизации называется квадратичной. Функция <tex>f</tex> достигает своей нижней грани в единственной точке <tex>x_*</tex>, определяемой уравнением <tex> Ax_* = b</tex> . Таким образом, данная задача оптимизации сводится к решению линейной системы
-<tex> Ax = b</tex>
-=== Общий  случай ===
 == Литература ==
-Васильев Ф. П. Методы оптимизации - Издательство «Факториал Пресс», 2002
-Nocedal J., Wright S.J. Numerical Optimization ,Springer, 1999
+# ''Gibbons J. D., Chakraborti S.'' Nonparametric Statistical Inference, 4th Ed. —  CRC, 2003 — 608&nbsp;с.
+# ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006. — 816&nbsp;с.
+== См. также ==
+* [[Проверка статистических гипотез]] — о методологии проверки статистических гипотез.
+* [[Статистика (функция выборки)]]
+* [[Критерий Вальда-Вольфовица|Критерий серий]] — другой критерий для проверки случайности ряда наблюдений
+== Ссылки ==
+{{Задание|Slimper|Vokov|08 января 2010}}