Вариационный ряд

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Текущая версия

Вариационный ряд (set of order statistic) — последовательность значений заданной выборки $x^m = (x_1,\ldots,x_m)$ , расположенных в порядке неубывания:

$x^{(1)} \leq x^{(2)} \leq \cdots \leq x^{(m)}.$

k-й порядковой статистикой называется k-е значение в вариационном ряду $x^{(k)}$ .

Рангом $r_i$ наблюдения $x_i$ называется его порядковый номер в вариационном ряду:

$x^{(r_i)} = x_i$ .

Если $x^m$ — простая выборка и функция распределения случайной величины $x$ непрерывна, то с вероятностью 1 вариационный ряд не содержит равных элементов (все неравенства строгие), и данное выше определение ранга корректно. Если же функция распределения разрывна (в частности, если случайная величина $x$ дискретна), то в вариационном ряду появляются связки, и значение ранга для некоторых элементов определяется неоднозначно.

Связкой размера $t$ называется подпоследовательность вариационного ряда $x^{(k_1)}, \ldots, x^{(k_2)$ такая, что $k_2-k_1+1 = t$ и

$x^{(1)} \leq \cdots < \underbrace{x^{(k_1)} = \cdots = x^{(k_2)}}_t < \cdots \leq x^{(m)}.$

Существует много способов обобщить определение ранга элемента на тот случай, когда в вариационном ряду имеются связки. Чаще всего применяется средний ранг.

Средним рангом $r_i$ наблюдения $x_i$ называется средний порядковый номер элементов той связки $\{k_1,\ldots,k_2\}$ , в которую попал элемент $x_i$ :

$r_i = \frac{\sum\nolimits_{r=1}^m r \cdot [x_i = x^{(r)}]}{\sum\nolimits_{r=1}^m [x_i = x^{(r)}]} = \frac{k_1+k_2}2$ .

Если распределение, из которого взята выборка, имеет плотность $f(x),$ то совместное распределение всех элементов вариационного ряда $x^{(1)}, x^{(2)}, \cdots, x^{(m)}$ задаётся функцией

$f_{1,2,\ldots,m}\left(y_1,y_2,\ldots,y_m\right)=n!f(y_1)f(y_2)\cdots f(y_m)I_{\{y_1<y_2<\cdots<y_m\}}.$

Литература

Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Под ред. Ю.В.Прохорова. — М.: Большая российская энциклопедия, 2003. — 912 с.
Лапач С. Н. , Чубенко А. В., Бабич П. Н. Статистика в науке и бизнесе. — Киев: Морион, 2002.
Орлов А. И. Эконометрика. — М.: Экзамен, 2003.
Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. В двух томах. — М.: П-центр, 2003.

Ссылки

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%92%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D1%80%D1%8F%D0%B4»

Категории: Математическая статистика | Прикладная статистика | Непараметрические статистические тесты

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 '''Вариационный ряд''' (set of order statistic) — последовательность значений
-заданной выборки <tex>x^m = (x_1,\ldots,x_m)</tex>, расположенных в порядке неубывания:
+заданной [[выборка|выборки]] <tex>x^m = (x_1,\ldots,x_m)</tex>, расположенных в порядке неубывания:
 ::<tex>x^{(1)} \leq x^{(2)} \leq \cdots \leq x^{(m)}.</tex>
 '''''k''-й порядковой статистикой''' называется ''k''-е значение в вариационном ряду <tex>x^{(k)}</tex>.
-'''Рангом''' <tex>R_i</tex> наблюдения <tex>x_i</tex> называется его порядковый номер в вариационном ряду:
+'''Рангом''' <tex>r_i</tex> наблюдения <tex>x_i</tex> называется его порядковый номер в вариационном ряду:
-::<tex>x^{(R_i)} = x_i</tex>.
+::<tex>x^{(r_i)} = x_i</tex>.
 Если <tex>x^m</tex> — [[простая выборка]] и [[функция распределения]] случайной величины <tex>x</tex> непрерывна, то с вероятностью 1 вариационный ряд не содержит равных элементов (все неравенства строгие), и данное выше определение ранга корректно.
@@ Строка 12: / Строка 12: @@
 '''Связкой''' размера <tex>t</tex> называется
-подпоследовательность вариационного ряда  <tex>x^{(r_1)}, \ldots, x^{(r_2)</tex>
+подпоследовательность вариационного ряда  <tex>x^{(k_1)}, \ldots, x^{(k_2)</tex>
 такая, что
-<tex>r_2-r_1+1 = t</tex>
+<tex>k_2-k_1+1 = t</tex>
 и
-::<tex>x^{(1)} \leq \cdots < \underbrace{x^{(r_1)} = \cdots = x^{(r_2)}}_t < \cdots \leq x^{(m)}.</tex>
+::<tex>x^{(1)} \leq \cdots < \underbrace{x^{(k_1)} = \cdots = x^{(k_2)}}_t < \cdots \leq x^{(m)}.</tex>
 Существует много способов обобщить определение ранга элемента на тот случай, когда в вариационном ряду имеются связки.
 Чаще всего применяется ''средний ранг''.
-'''Средним рангом''' <tex>R_i</tex> наблюдения <tex>x_i</tex> называется средний порядковый номер элементов той связки <tex>\{r_1,\ldots,r_2\}</tex>, в которую попал элемент <tex>x_i</tex>:
+'''Средним рангом''' <tex>r_i</tex> наблюдения <tex>x_i</tex> называется средний порядковый номер элементов той связки <tex>\{k_1,\ldots,k_2\}</tex>, в которую попал элемент <tex>x_i</tex>:
-::<tex>R_i = \frac{\sum\nolimits_{r=1}^m r [x_i = x^{(r)}]}{\sum\nolimits_{r=1}^m [x_i = x^{(r)}]} = \frac{r_1+r_2}2</tex>.
+::<tex>r_i = \frac{\sum\nolimits_{r=1}^m r \cdot [x_i = x^{(r)}]}{\sum\nolimits_{r=1}^m [x_i = x^{(r)}]} = \frac{k_1+k_2}2</tex>.
+Если распределение, из которого взята выборка, имеет плотность <tex>f(x),</tex> то совместное распределение всех элементов вариационного ряда <tex>x^{(1)}, x^{(2)}, \cdots, x^{(m)}</tex> задаётся функцией
+::<tex>f_{1,2,\ldots,m}\left(y_1,y_2,\ldots,y_m\right)=n!f(y_1)f(y_2)\cdots f(y_m)I_{\{y_1<y_2<\cdots<y_m\}}.</tex>
 == Литература ==
@@ Строка 33: / Строка 35: @@
 == Ссылки ==
 * [[Статистика (функция выборки)]]
+* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0 Порядковая статистика] (Википедия).
 * [http://en.wikipedia.org/wiki/Order_statistic Order statistic] (Wikipedia).
 * [http://en.wikipedia.org/wiki/Ranking Ranking] (Wikipedia).

Вариационный ряд

Материал из MachineLearning.

Текущая версия

Литература

Ссылки

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты