Квантиль

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Версия 12:36, 13 ноября 2009

Содержание

1 Определение
2 Часто используемые квантили специальных видов
3 Терминология, принятая в математической статистике
4 Выборочный квантиль
5 Литература
6 Ссылки

$\alpha$ -кванти́ль (или квантиль порядка $\alpha$ ) — числовая характеристика закона распределения случайной величины; такое число, что данная случайная величина попадает левее его с вероятностью, не превосходящей $\alpha$ .

Определение

$\alpha$ -кванти́ль случайной величины $\xi$ с функцией распределения $F(x) = \mathbb{P} \{ \xi < x \}$ — это любое число $x_\alpha$ , удовлетворяющее двум условиям:

1) $F(x_\alpha) \leq \alpha$ ;

2) $F(x_\alpha+0) \geq \alpha$ .

Заметим, что данные условия эквивалентны следующим:

$\mathbb{P}(\xi<x_\alpha)\le\alpha$ и $\mathbb{P}(\xi>x_\alpha)\le 1- \alpha$

Если $F(x)$ — непрерывная строго монотонная функция, то существует единственный квантиль $x_\alpha$ любого порядка $\alpha \in (0,\,1)$ , который однозначно определяется из уравнения $F(x_\alpha) = \alpha$ , следовательно, выражается через функцию, обратную к функции распределения:

$x_\alpha = F^{-1}(\alpha).$

Кроме указанной ситуации, когда уравнение $F(x_\alpha) = \alpha$ имеет единственное решение (которое и дает соответствующий квантиль), возможны также две других:

если указанное уравнение не имеет решений, то это означает, что существует единственная точка $x_\alpha$ , в которой функция распределения имеет разрыв, которая удовлетворяет данному определению и является квантилью порядка $\alpha$ . Для этой точки выполнены соотношения: $\mathbb{P}(\xi<x_\alpha)<\alpha$ и $\mathbb{P}(\xi>x_\alpha)\le 1- \alpha$ (первое неравенство строгое, а второе может быть как строгим, так и обращаться в равенство).
если уравнение имеет более одного решения, то все его решения образуют интервал, на котором функция распределения постоянна. В качестве квантили порядка $\alpha$ может быть взята любая точка этого интервала. Содержательные выводы, в которых участвует квантиль, от этого существенно не изменятся, поскольку вероятность попадания случайной величины $\xi$ в данный интервал равна нулю.

Часто используемые квантили специальных видов

Проценти́ль $x_{p/100}, \; p=1,\ldots,99.$

Дециль $x_{p/10}, \; p=1,\ldots,9.$

Квинтиль $x_{p/5}, \; p=1,2,3,4.$

Квартиль $x_{p/4}, \; p=1,2,3.$

Медиана $x_{1/2}.$

Терминология, принятая в математической статистике

В задачах математической статистики часто возникает необходимость отделить сверху, снизу или с обеих сторон области, вероятности попадания в которые малы. В связи с этим часто используется следующая терминология.

Нижняя (односторонняя) квантиль уровня $\alpha$ - это то же, что и обычная квантиль порядка $\alpha$ :

$x_\alpha^- = x_\alpha$ .

Верхняя (односторонняя) квантиль уровня $\alpha$ - это обычная квантиль порядка $1-\alpha$ :

$x_\alpha^+ = x_{1-\alpha}$ .

Двусторонние квантили уровня $\alpha$ - это пара (нижняя+верхняя) односторонних квантилей уровня $\alpha/2$ . Двусторонние квантили задают интервал, в который рассматриваемая случайная величина попадает с заданной вероятностью:

$\mathbb{P}\left\{ x_{\alpha)/2}^- \le \xi \le x_{\alpha)/2}^+ \right\} \ge 1-\alpha$ .

Выборочный квантиль

Пусть задана простая выборка $x^m = (x_1,\ldots,x_m)$ , и её вариационный ряд есть

$x^{(1)} \leq x^{(2)} \leq \cdots \leq x^{(m)}.$

Выборочный $\alpha$ -кванти́ль или выборочный квантиль порядка $\alpha$ , $\alpha \in (0,\,1)$ есть статистика (функция выборки), равная элементу вариационного ряда с номером $[m\alpha+1]$ (целая часть от $m\alpha+1$ ).

Пусть $f$ — плотность, $F$ — функция распределения случайной величины $x$ . Тогда выборочные квантили $0 < \alpha_1 \leq \cdots \leq \alpha_k < 1$ имеют при $m \to \infty$ асимптотически k-мерное нормальное распределение с математическими ожиданиями, равными (не выборочным) квантилям $x_{\alpha_i},\; i=1,\ldots,k$ и ковариациями

$\frac{\alpha_i(1-\alpha_j)}{m f\left(x_{\alpha_i}\right) f\left(x_{\alpha_j}\right) },\;\; i\leq j,\;\; i,j= 1,\ldots,k.$

Таким образом, выборочные квантили являются несмещёнными оценками обычных (не выборочных) квантилей.

Литература

Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Под ред. Ю.В.Прохорова. — М.: Большая российская энциклопедия, 2003. — 912 с.

Ссылки

Quantile, Percentile, Decile — статьи в англоязычной Википедии.
Квантиль — статья в русской Википедии.

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%B8%D0%BB%D1%8C»

Категории: Теория вероятностей | Математическая статистика | Прикладная статистика

@@ Строка 26: / Строка 26: @@
 * если указанное уравнение ''не имеет решений'', то это означает, что существует единственная точка <tex>x_\alpha</tex>, в которой функция распределения имеет разрыв, которая удовлетворяет данному определению и является квантилью порядка <tex>\alpha</tex>. Для этой точки выполнены соотношения: <tex>\mathbb{P}(\xi<x_\alpha)<\alpha</tex> и <tex>\mathbb{P}(\xi>x_\alpha)\le 1- \alpha</tex> (первое неравенство строгое, а второе может быть как строгим, так и обращаться в равенство).
 * если уравнение имеет ''более одного решения'', то все его решения образуют интервал, на котором функция распределения постоянна. В качестве квантили порядка <tex>\alpha</tex> может быть взята любая точка этого интервала. Содержательные выводы, в которых участвует квантиль, от этого существенно не изменятся, поскольку вероятность попадания случайной величины <tex>\xi</tex> в данный интервал равна нулю.
-При построении доверительного интервала для случайной величины <tex>\xi</tex> используется равенство
-::<tex>\mathbb{P}\left\{ x_{(1-\alpha)/2} \le \xi \le x_{(1+\alpha)/2} \right\} = \alpha</tex>.
 == Часто используемые квантили специальных видов ==
@@ Строка 52: / Строка 49: @@
 <center><tex>x_\alpha^+ = x_{1-\alpha}</tex>.</center>
-'''Двусторонние квантили уровня''' <tex>\alpha</tex> - это пара (нижняя+верхняя) односторонних квантилей уровня <tex>\alpha/2</tex>.
+'''Двусторонние квантили уровня''' <tex>\alpha</tex> - это пара (нижняя+верхняя) односторонних квантилей уровня <tex>\alpha/2</tex>. Двусторонние квантили задают интервал, в который рассматриваемая случайная величина попадает с заданной вероятностью:
+<center><tex>\mathbb{P}\left\{ x_{\alpha)/2}^- \le \xi \le x_{\alpha)/2}^+ \right\} \ge 1-\alpha</tex>.</center>
 == Выборочный квантиль ==

Квантиль

Материал из MachineLearning.

Версия 12:36, 13 ноября 2009

Содержание

Определение

Часто используемые квантили специальных видов

Терминология, принятая в математической статистике

Выборочный квантиль

Литература

Ссылки

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты