Участник:Slimper/Песочница

Материал из MachineLearning.

< Участник:Slimper(Различия между версиями)

Текущая версия

Критерий Бартелса (Bartels test) — непараметрический статистический критерий, используемый для проверки случайности последовательности наблюдаемых значений. Критерий является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения. Критерий Бартелса можно применять для анализа регрессионных остатков. Также его можно применять при анализе временных рядов для выявления тренда.

Содержание

1 Примеры задач
2 Описание критерия
- 2.1 Асимптотический критерий
3 Свойства критерия Бартелса
4 История
5 Литература
6 См. также
7 Ссылки

Примеры задач

Пример 1. Ряд значений состоит из подсчитанного на протяжении нескольких лет количества туристов, посещавших страну в течение года. Требуется установить, являются ли число туристов, случайным, или оно подчиняется какой-то закономерности.

Описание критерия

Заданы выборка $x^n = (x_1,\ldots,x_n),x_i \in \mathbb{R}$ .

Нулевая гипотеза $H_0:\;$ выборка $x^n$ простая, то есть все наблюдения $x_i$ — независимы и одинаково распределены.

Статистика критерия:

Построить вариационный ряд выборки $x^{(1)}(x_1,\ldots,x_n)$ и найти ранги $r(x_i)$ всех элементов.
Статистика критерия Бартелса вычисляется по формуле:

$B = \frac{ \sum_{i = 1}^n (r(x_i) - r(x_{i + 1}) )^2 }{ \sum(R_i - \frac{n + 1}{2})^2}$

Варианты критерия (при уровне значимости $\alpha$ ):

двусторонний критерий (против альтернативы, что данные не случайны)

если $B \in \left[ B_{n,\alpha/2},\, B_{n,1-\alpha/2} \right]$ , то нулевая гипотеза отвергается;

левосторонний критерий(против альтернативы, что наблюдения положительно коррелированы)

если $B < B_{n,\alpha}$ , то нулевая гипотеза отвергается;

правосторонний критерий(против альтернативы, что наблюдения отрицательно коррелированы)

если $B > B_{n,\alpha}$ , то нулевая гипотеза отвергается;

Здесь $B_{n,\alpha}$ -- это $\alpha$ -квантиль табличного распределения статистики Бартелса с параметром $n$ .

Асимптотический критерий

Распределение статистики Бартелса асимптотически нормально с матожиданием $\mathbb{E}B = 2$ и дисперсией

$\mathbb{D}B = \frac{4(n - 2)(5n^2 - 2n - 9)}{5n(n + 1)(n - 1)^2}$

Поэтому при $n \ge 20$ используется нормированная статистика Бартелса

$B' = \frac{B - \mathbb{E}B}{\sqrt{\mathbb{D}B} }$

Свойства критерия Бартелса

Бартелс с помошью численного моделирования показал , что во многих случаях критерий Бартелса имеет большую мощность, чем критерий серий.

История

Критерий был предложен Бартелсом в 1982 году.

Литература

Gibbons J. D., Chakraborti S. Nonparametric Statistical Inference, 4th Ed. — CRC, 2003 — 608 с.
Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.

См. также

Проверка статистических гипотез — о методологии проверки статистических гипотез.
Статистика (функция выборки)
Критерий серий — другой критерий для проверки случайности ряда наблюдений

Ссылки

Данная статья является непроверенным учебным заданием.

Студент: Участник:Slimper

Преподаватель: Участник:Vokov

Срок: 08 января 2010

До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Slimper/%D0%9F%D0%B5%D1%81%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0»

Категория: Непроверенные учебные задания

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-'''Ранговые критерии''' — это статистические тесты, в которых вместо выборочных значений используются их [[ранг]]и(номера элементов в упорядоченной по возрастанию выборке). Большинство ранговых критериев являются
+'''Критерий Бартелса (Bartels test)''' — [[непараметрический статистический критерий]], используемый для проверки случайности последовательности наблюдаемых значений. Критерий является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения. Критерий Бартелса можно применять для анализа регрессионных остатков.
-[[Проверка статистических гипотез#Типы статистических критериев| непараметрическими]], хотя
+Также его можно применять  при анализе [[временной ряд|временных рядов]] для выявления тренда.
-среди ранговых критериев встречаются и параметрические, например, одновыборочный [[критерий Колмогорова-Смирнова]].
-==Классификация ранговых критериев ==
+== Примеры задач ==
-''Ранговые критерии'' можно разбить на группы в зависимости от типа [[Проверка статистических гипотез| статистической гипотезы]], которую они проверяют. Некоторые критерии входят в несколько групп, так как их можно использовать для проверки различных гипотез.
+'''Пример 1.'''
-=== Критерии случайности ===
+Ряд значений состоит из  подсчитанного на протяжении нескольких лет количества туристов, посещавших страну в течение года.
-Пусть задана выборка
+Требуется установить, являются ли число туристов,  случайным, или оно
-<tex>x_1, \dots x_n</tex>.
+подчиняется какой-то закономерности.
-Проверяется гипотеза о том, что наблюдения <tex>x_i</tex> независимы и подчиняются одному
-и тому же распределению с плотностью <tex>f(x)</tex>.
-*[[Критерий серий]]
-*[[Критерий инверсий]]
-*[[Критерий Вальда-Волфовитца]]
-*[[Критерий Рамачандрана-Ранганатана]]
-*[[Сериальный критерий Шахнесси]]
-*[[Критерий Олмстеда]]
-*[[Критерий Бартелса]]
-*[[Критерий кумулятивной суммы]]
-*[[Знаково-ранговый критерий Холлина]]
-=== Критерии симметрии ===
+== Описание критерия ==
-Пусть задана [[простая выборка]]
+Заданы выборка <tex>x^n = (x_1,\ldots,x_n),x_i \in \mathbb{R}</tex>.
-<tex> x_1, \dots, x_n </tex> c плотностью <tex>f(x)</tex>
-Проверяется гипотеза о том, что плотность распределения симметрична относительно своего центра <tex>a</tex>.
-Возможная формулировка нулевой гипотезы:
+'''[[Нулевая гипотеза]]''' <tex>H_0:\;</tex> выборка <tex>x^n</tex> [[простая выборка|простая]], то
-<tex>H_0: f(a + x) = f(a-x) </tex>.
+есть все наблюдения <tex>x_i</tex> — независимы и одинаково распределены.
-*[[Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни|Одновыборочный критерий Уилкоксона]]
-*[[Критерий симметрии Смирнова]]
-*[[Критерий Фрэйзера]]
-*[[Критерий Ван дер Вардена]]
-*[[Критерий Антилла—Керетинга—Цуккини]]
-*[[Критерий Бхатачарья-Гаствирта-Райта]]
-=== Критерии корреляции ===
+'''Статистика критерия:'''
-Задана выборка пар наблюдений  <tex>(x_i, y_i)</tex> объёма <tex>n</tex>
+# Построить [[вариационный ряд]] выборки <tex>x^{(1)}(x_1,\ldots,x_n)</tex> и найти ранги <tex>r(x_i)</tex> всех элементов.
-Проверяется гипотеза о наличии корреляции между случайными величинами <tex>x</tex>
+# Статистика критерия Бартелса вычисляется по формуле:
-и <tex>y</tex>. Для проверки этой гипотезы используются критерии, основанные на различных коэффициентах
+::<tex>B = \frac{ \sum_{i = 1}^n (r(x_i) - r(x_{i + 1}) )^2 }{ \sum(R_i - \frac{n + 1}{2})^2}</tex>
-[[Ранговая корреляция|ранговой корреляции]].
-*[[коэффициент корреляции Спирмена|Критерий Спирмена]]
-*[[Критерий Ширахатэ]]
-*[[Критерий Гёфдинга]]
-*[[Критерий корреляции Фишера-Йэйтса]]
-*[[Критерий корреляции Ван дер Вардена ]]
-Обобщением [[Ранговая корреляция|ранговой корреляции]] на случай нескольких выборок является ''коэффициент конкордации''. На её основе строятся тесты для анализа корреляции нескольких выборок.
-*[[Конкордация Кенделла|Коэффициент конкордации Кенделла]]
-*[Коэффициент конкордации Шукени-Фроли]]
-=== Критерии сдвига и масштаба ===
+Варианты критерия (при [[уровень значимости|уровне значимости]] <tex>\alpha</tex>):
-Проверяется гипотеза сдвига, согласно которой распределения двух выборок имеют одинаковую форму и отличаются только сдвигом на константу.
-Пусть заданы две выборки
-<tex>x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R}</tex>,взятые из неизвестных непрерывных распределений <tex>F(x)</tex> и <tex>G(y)</tex> соответственно.
-Нулевая гипотеза — <tex>H_0: \quad F(x) = G(y - \mu)</tex>
+*  двусторонний критерий (против альтернативы, что данные не случайны)
+::если <tex> B \in \left[ B_{n,\alpha/2},\, B_{n,1-\alpha/2} \right] </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
-Наиболее частая альтернативная гипотеза - <tex>H_1: \quad F(x) \ne G(y - \mu)</tex>.
+* левосторонний критерий(против альтернативы, что наблюдения положительно коррелированы)
+::если <tex> B < B_{n,\alpha} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
+* правосторонний критерий(против альтернативы, что наблюдения отрицательно коррелированы)
+::если <tex> B > B_{n,\alpha} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
-'''Список критериев'''
+Здесь <tex> B_{n,\alpha} </tex> -- это <tex>\alpha</tex>-[[квантиль]] табличного распределения  статистики Бартелса с параметром <tex>n</tex>.
-* [[Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни]]
-* [[Критерий Фишера-Йэйтса-Терри-Гёфдинга]]
-* [[Критерий Ван дер Вардена ]]
-* [[Медианный критерий]]
-* [[Критерий Хаги]]
-* [[E-Критерий]]
-Кроме критериев, проверяющих гипотезу сдвига для двух совокупностей, существует большое
+===Асимптотический критерий ===
-количество тестов для проверки гипотезы сдвига среди нескольких совокупностей. Далее приведены
+Распределение статистики Бартелса асимптотически нормально
-некоторые из них:
+с матожиданием <tex>\mathbb{E}B = 2</tex> и дисперсией
-*[[Критерий Крускала-Уоллиса]]
+::<tex> \mathbb{D}B = \frac{4(n - 2)(5n^2 - 2n - 9)}{5n(n + 1)(n - 1)^2} </tex>
-*[[Критерий Краузе]]
-*[[Критерий Пейджа]]
-*[[Критерий Вилкоксона-Вилкокс]]
-*[[Критерий Джонкхиера]]
-*[[Критерий Неменьи]]
-*[[Критерий Хеттманспергера ]]
-*[[Критерий Фридмена-Кендалла-Бэбингтона-Смита]]
-*[[Критерий Хеттманспергера]]
-*[[Критерий Андерсона-Каннемана-Шэча]]
-*[[Критерий Кендалла-Эренберга]]
-*[[Критерий Ходжеса-Лемана-Сена]]
-'''Критерии масштаба'''
+Поэтому  при
-*[[Критерий Ансари—Бредли]]
+<tex>n \ge 20</tex> используется нормированная статистика Бартелса
-*[[Критерий Сижела-Тьюки]]
+::<tex>B' = \frac{B - \mathbb{E}B}{\sqrt{\mathbb{D}B} } </tex>
-*[[Критерий Критерий Кейпена]]
-*[[Критерий Клотца]]
+== Свойства критерия Бартелса==
-*[[Критерий Сэвиджа]]
+Бартелс с помошью численного моделирования показал , что во многих случаях критерий Бартелса имеет большую мощность, чем [[Критерий Вальда-Вольфовица|критерий серий]].
-*[[Критерий Муда]]
-*[[Критерий Сукхатме]]
+== История ==
-*[[Критерий Сэндвика-Олсона]]
+Критерий был предложен Бартелсом в 1982 году.
-*[[Критерий Камата]]
-*[[Критерий Бхапкара-Дешпанде]]
 == Литература ==
+# ''Gibbons J. D., Chakraborti S.'' Nonparametric Statistical Inference, 4th Ed. —  CRC, 2003 — 608&nbsp;с.
 # ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006. — 816&nbsp;с.
-# ''Hajek J., Sidak Z., Sen K. P.'' Theory of rank tests(second edition). — Academic Press, 1999. - 450&nbsp;p.
 == См. также ==
 * [[Проверка статистических гипотез]] — о методологии проверки статистических гипотез.
 * [[Статистика (функция выборки)]]
+* [[Критерий Вальда-Вольфовица|Критерий серий]] — другой критерий для проверки случайности ряда наблюдений
 == Ссылки ==
 {{Задание|Slimper|Vokov|08 января 2010}}