Сравнение временных рядов при авторегрессионном прогнозе (пример)
Материал из MachineLearning.
(→Алгоритм) |
(→Исходный код) |
||
(30 промежуточных версий не показаны.) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
== Аннотация == | == Аннотация == | ||
- | + | Данная работа посвящена исследованию зависимости между пространственными характеристиками (форма, период) временного ряда<ref>Стрижов В.В, Пташко Г.О. Построение инвариантов на множестве временных рядов путем динамической свертки свободной переменной. — ВЦ РАН, 2009.</ref> и распределением параметров регрессионных моделей, которые описывают эти временные ряды. Один из подходов исследовать данную зависимость - посмотреть, как распределены параметры моделей для похожих в некотором смысле временных рядов, и насколько эти распределения различаются для непохожих (различных в некотором смысле) временных рядов. | |
- | |||
- | |||
== Постановка задачи == | == Постановка задачи == | ||
- | + | [[временной ряд|Временным рядом]] называется последовательность упорядоченных по времени значений некоторой вещественной переменной <tex>$\mathbf{x}=\{x_{t}\}_{t=1}^T\in\mathbb{R}^T$</tex>. Элемент последовательности называется отсчетом временного ряда. | |
- | + | ||
- | + | Задача авторегрессионного прогноза заключается в нахождении модели <tex>$f(\mathbf{x}, \mathbf{w})$</tex>, где <tex>$\mathbf{w}\in\mathbb{R}^M$</tex> вектор параметров модели, которая наилучшим образом приближает следущее значение временного ряда <tex>$x_{T+1}:\widehat{x}_{T+1}=f(\mathbf{x}, \mathbf{w})$</tex>. | |
- | <tex> | + | |
- | \ | + | |
- | + | ||
- | x_{T+1} | + | |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | </tex>. | + | |
- | + | Пусть задан временной ряд <tex>$\mathbf{x}=\{x_{t}\}_{t=1}^T\in\mathbb{R}^T$</tex>. Предполагается, что отсчеты <tex>t=1,\dots, T</tex> были сделаны через равные промежутки времени, и период временного ряда равен <tex>$p$</tex>, при этом <tex>$ {T}+1=p\cdot{n}$</tex>, где <tex>n\in\mathbb{N}</tex>. | |
+ | Задана модель <tex>$\mathbf{x}=f(\mathbf{x}, w)+\epsilon$</tex>,где случайная величина <tex>\mathbf{\varepsilon}</tex> имеет нормальное распределение <tex>\mathbf{\varepsilon} \in N(0, \sigma^2)</tex>. Вектор параметров модели <tex>\mathbf{w}</tex> рассматривается как многомерная случайная величина. Пусть плотность распределения параметров имеет вид многомерного нормального распределения <tex>N(\mathbf{0}, A)</tex> с матрицей ковариации <tex>A</tex>. Модель некоторым образом учитывает период временного ряда. | ||
+ | Предполагается, модель временного ряда может меняться с течением времени, т.е. для разных подпоследовательностей длины <tex>p</tex> оптимальные параметры модели <tex>$\mathbf{x}=f(\mathbf{x}, w)+\epsilon$</tex> будут отличаться. | ||
+ | |||
+ | === Расстояние между временными рядами === | ||
+ | Расстояние между различными подпоследовательностями <tex> x_{n_1\cdot{p}+1},\dots,x_{(n_1+1)\cdot{p}}</tex> и <tex> x_{n_2\cdot{p}+1},\dots,x_{(n_2+1)\cdot{p}}</tex> можно вычислить как сумму квадратов отклонений: | ||
+ | |||
+ | <center><tex>SSE=\sum_{i=1}^p{(x_{n_2{p}+i}-x_{n_1{p}+i})^2}.</tex></center> | ||
+ | |||
+ | Однако этот метод учитывает только расстояния между парами отсчетов временного ряда. Метод поиска пути минимальной стоимости (warping path)<ref>Keogh E. J., Pazzani M. J. Derivative Dynamic Time Warping International Conference on Data Mining (SDM’2001) 2001</ref> учитывает не только расстояние между отсчетами рядов, но и форму самих временных рядов. | ||
+ | |||
+ | Предположим, мы имеем две последовательности <tex>\mathbf{x}= \{x_{1},\dots,x_{n}\}\in\mathbb{R}^n</tex> и <tex>\mathbf{y}= \{y_{1},\dots,y_{m}\}\in\mathbb{R}^m</tex>. Тогда построим матрицу <tex>n\times m</tex> попарных расстояний: | ||
+ | |||
+ | <center><tex>\Omega=\|\omega_{i,j}\|_{i=1,j=1}^{n, m}=\|(x_i-x_j)^2\|_{i=1,j=1}^{n, m}.</tex></center> | ||
+ | |||
+ | Далее из элементов матрицы <tex>\Omega</tex> строим путь: | ||
+ | |||
+ | <center><tex>\{s_1, \dots, s_C\}=\{\omega_{i_1,j_1}, \dots, \omega_{i_{n_C}, j_{m_C}}\}.</tex></center> | ||
+ | |||
+ | Построенный путь удовлетворяет следующим условиям: | ||
+ | |||
+ | ''''1 граничные условия:'''' <center> <tex>s_1 = \omega_{1,1},~ s_C = \omega_{n,m}</tex>;</center> | ||
+ | |||
+ | ''''2) непрерывность:'''' <center>если~<tex> s_k = \omega_{i,j},~ s_{k-1} = \omega_{i',j'}</tex>, тогда <tex>i-i'\leq 1,~ j-j'\leq 1</tex>;</center> | ||
+ | |||
+ | ''''3) монотонность:'''' <center>если~<tex> s_k = \omega_{i,j},~ s_{k-1} = \omega_{i',j'}</tex>, тогда <tex>i-i'\geq 0,~j-j'\geq 0</tex>.</center> | ||
+ | |||
+ | Стоимостью пути <tex>\{s_1, \dots, s_C\}</tex> будет | ||
+ | |||
+ | <center><tex><tex>D\left(\{s_1, \dots, s_C\}\right)=\frac{\sqrt{\sum_{c=1}^C{s_c}}}{C}.</tex></center> | ||
+ | |||
+ | Среди всех путей есть по крайней мере один с минимальной стоимостью. Его стоимость и будем считать расстоянием между последовательностями: | ||
+ | |||
+ | <center><tex>DTW(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \min\limits_{\{s_1, \dots, s_C\}}D\left(\{s_1, \dots, s_C\}\right).</tex></center> | ||
+ | |||
+ | Алгоритм поиска пути минимальной стоимости рекурсивно находит длину пути наименьшей стоимости <tex>\gamma_{i,j}</tex> до каждого элемента матрицы <tex>\Omeg</tex>: | ||
+ | |||
+ | <center><tex>\gamma_{i,j} = \omega_{i,j}+\min(\gamma_{i,j-1}, \gamma_{i-1,j}, \gamma{i-1, j-1}).</tex></center> | ||
+ | |||
+ | === Расстояние между параметрами модели === | ||
+ | Расстояние между параметрами модели <tex>$\mathbf{x}=f(\mathbf{x}, \mathbb{w})+\epsilon$</tex>, настроенной на разных подпоследовательностях, можно измерить как расстояние Кульбака-Лейблера между функциями распределения 2-ух случайных величин <tex>{p(w)},{q(w)}</tex>: | ||
+ | <center><tex>D_{KL}(p, q) = \sum\limits_{w\in \mathcal{W}} p(w) \ln \frac{p(w)}{q(w)}.</tex></center> | ||
+ | === Постановка задачи === | ||
+ | Требуется исследовать зависимость расстояния между параметрами модели <tex>$\mathbf{x}=f(\mathbf{x}, w)+\epsilon$</tex> от расстояния между подпоследовательностями, на которых эти параметры были настроены. | ||
== Алгоритм == | == Алгоритм == | ||
- | + | ||
- | <tex> | + | Для настройки параметров модели <tex>f(\mathbf{x}, \mathbf{w})+\epsilon</tex> используется [[Связанный Байесовский вывод|связный байесовский вывод]] |
- | \ | + | |
- | \ | + | <tex>\ln p(D|\beta, A)=-\frac{1}{2}\ln|A|-\frac{N}{2}\ln2\pi+\frac{N}{2}\ln\beta-S(\mathbf{w_0})-\frac{1}{2}\ln|H|,</tex> |
- | + | ||
- | \ | + | где <tex>S(\mathbf{w})=\frac{1}{2}\mathbf{w}^TA\mathbf{w}+\beta E_D</tex> — функция ошибки, |
- | + | ||
- | \ | + | <tex>H=-\nabla\nabla S(\mathbf{w})|_{\mathbf{w}=\mathbf{w_0}}</tex> — [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0_%D0%93%D0%B5%D1%81%D1%81%D0%B5 матрица Гессе] функции ошибок, |
- | \ | + | |
- | \left( | + | <tex>E_D=\frac{1}{2}\sum^n_{i=1}(\widehat{x_i}-x_i)^2</tex> — функция ошибки в пространстве данных. |
- | \begin{array}{ | + | |
- | \ | + | Настройка параметрической регрессионной модели происходит в 2 этапа <ref>Стрижов В.В Методы выбора регрессионных моделей. — ВЦ РАН, 2010</ref>, сначала настраиваются параметры <tex>\mathbf{w}</tex> при фиксированных гиперпараметрах <tex>\beta, A</tex>, затем при вычисленных значениях параметров функция правдоподобия <tex>\ln p(D|\beta, A)</tex> оптимизируется по гиперпараметрам. Процедура повторяется, пока настраиваемые параметры не стабилизируется. |
+ | |||
+ | Для простоты вычислений, считаем, что<tex> A </tex> имеет диагональный вид: | ||
+ | |||
+ | <tex>A=\left( | ||
+ | \begin{array}{cccc} | ||
+ | \alpha_{1} & 0 & \dots & 0\\ | ||
+ | 0 & \alpha_2 & \dots & 0 \\ | ||
+ | \vdots & \vdots & \ddots & 0\\ | ||
+ | 0 & \dots & 0 & \alpha_M\\ | ||
\end{array} | \end{array} | ||
\right). | \right). | ||
- | </tex> | + | </tex>. |
- | + | ||
== Вычислительный эксперимент == | == Вычислительный эксперимент == | ||
+ | === Пример на реальных данных === | ||
+ | [[Изображение:EnergyConsumptoin.png|thumb|left]] | ||
+ | [[Изображение:DayPeriod.png|thumb|right]] | ||
+ | Вычислительный эксперимент проводился на реальных данных. Использовались временные ряды потребления электроэнергии в некотором регионе с отсчетами 1 час, период ряда равен <tex>p=24</tex>. | ||
+ | Эксперимент состоит из этапов: | ||
+ | |||
+ | '''1)''' из множества порождающих моделей: | ||
+ | |||
+ | <tex>f_1(x) = x; | ||
+ | f_2(x) = \sin(x); | ||
+ | f_3(x) = \cos(x); | ||
+ | f_4(x) = \exp(x); | ||
+ | f_5(x) = \ln(x); | ||
+ | f_6(x) = \tan(x); | ||
+ | </tex> | ||
+ | |||
+ | была построена их суперпозиция, описывающая потребление электроэнергии за сутки: | ||
+ | |||
+ | <center><tex>$$\widehat{x}_{pn+t}=w_1\cdot{\sqrt{t}}+w_2\cdot{\exp(-t)}+w_3\cdot{\exp(-24\cdot{t})}+w_4\cdot \exp\left(w_5\cdot{\sin(t^4)} \right)+w_6\cdot \exp \left( w_7\cdot cos(24\cdot t^{2,5})\right)+$$</tex></center> | ||
+ | <center><tex>$$+w_{10}\cdot cos(t)+w_{12}\cdot t\cdot cos(t^3).$$</tex></center> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | [[Изображение:Series5.png|thumb|left]] | ||
+ | [[Изображение:KL WarpingPath Distance.png|thumb|right]] | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''2)''' модель настраивается на подпоследовательности | ||
+ | |||
+ | <tex>\mathbf{x}(n)=\{x_{pn+1},\dots,x_{pn+24}\}</tex>, | ||
+ | |||
+ | где <tex>n</tex> - номер суток. В результате получаем набор оптимальных параметров и гиперпараметров модели, оптимальных для данной подпоследовательности: | ||
+ | <center><tex>\mathbf{w}(n), A(n), \beta(n)</tex></center>. | ||
+ | |||
+ | '''3)''' строится зависимость расстояния между последовательностями в пространстве параметров: | ||
+ | |||
+ | <center><tex> D_{KL} \left( \mathbf{x}(n), \mathbf{x}(m) \right)= D_{KL}\left(p(w), q(w) \right) = \sum\limits_{w\in \mathcal{W}} p(w) \ln \frac{p(w)}{q(w)} </tex>,</center> где <tex>p(w),q(w)</tex> - плотности распределений случайных величины из <tex>N(\mathbf{w}(n),A(n))</tex> и <tex>N(\mathbf{w}(m),A(m))</tex> соотвественно, и расстояний в пространстве значений: | ||
+ | |||
+ | [[Изображение:KL SSE Distance.png|thumb|right]] | ||
+ | |||
+ | <center><tex>Dintance \left( \mathbf{x}(n), \mathbf{x}(m) \right)=\sum_{t=1}^{24}\left( x_t(n)-x_t(m) \right)^2 </tex></center> | ||
+ | |||
+ | Результаты экспериментов на реальных данных показывают, что можно выделить среди множества пар временных рядов похожие и непохожие. Используя расстояние Кульбака-Лейблера между распределениями параметров моделей можно установить порог, который поможет определить похожие на заранее выделенный тип временных рядов. Для пояснения вышесказанного приведем пример на модельных данных, в которых участвуют временные ряды двух типов. | ||
+ | |||
+ | === Пример на сгенерированных данных=== | ||
+ | [[Изображение:TestExample.png|thumb|left]] | ||
+ | [[Изображение:GeterateSeries5.png|thumb|right]] | ||
+ | |||
+ | Проведен для для 6 моделей распределения данных: | ||
+ | '''1)''' <tex>f(\mathbf{x},\mathbf{w}) = a_1 + b_1\cdot{t}+\epsilon</tex>, где <tex>\epsilon\in N(0, 1)</tex>; | ||
+ | |||
+ | '''2)''' <tex>f(\mathbf{x},\mathbf{w}) = a_1 + b_1\cdot{t}+\epsilon</tex>, где <tex>\epsilon\in N(0, 5)</tex>; | ||
+ | |||
+ | '''3)''' <tex>f(\mathbf{x},\mathbf{w}) = a_1-10*\sigma_{\epsilon} + b_1\cdot{t}+\epsilon</tex>, где <tex>\epsilon\in N(0, 1)</tex>, <tex>\sigma_{\epsilon}</tex> - дисперсия случайной величины; | ||
+ | |||
+ | '''4)''' <tex>f(\mathbf{x},\mathbf{w}) = a_1 + 1,5\cdot b_1\cdot{t}-t^2+\epsilon</tex>, где <tex>\epsilon\in N(0, 5)</tex>; | ||
+ | |||
+ | '''5)''' <tex>f(\mathbf{x},\mathbf{w}) = a_1 + 1,5\cdot b_1\cdot{t}-t^2+\epsilon</tex>, где <tex>\epsilon\in N(0, 10)</tex>; | ||
+ | |||
+ | '''6)''' <tex>f(\mathbf{x},\mathbf{w}) = a_1 -10*\sigma_{\epsilon} + 1,5\cdot b_1\cdot{t}-t^2+\epsilon</tex>, где <tex>\epsilon\in N(0, 5)</tex>. | ||
+ | |||
+ | Первые три модели относится в первому типу (line), три последних модели относятся ко второму типу (parabola). | ||
+ | Прогнозирующая модель была линейной: <tex>\widehat{x}_{t}=w_1+w_2\cdot{t}</tex>. | ||
+ | |||
+ | [[Изображение:TestSample KL SSE Distance.png|thumb|left]] | ||
+ | [[Изображение:TestSample KL WarpingPath Distance.png|thumb|right]] | ||
+ | На тестовом примере видно, что чем больше расстояние между рядами в пространстве значений, тем скорее больше будет разница между распределениями настроенных параметров. На картинках можно явно разделить увидеть, что расстояние Кульбака-Лейблера между распределениями настроенных параметров для похожих моделей (line - line или parabola - parabola) значительно меньше расстояния между параметрами непохожих моделей (line-parabola или parabola-line). Таким образом можно настроить такой порог, по которому можно было бы определить, относится ли временной ряд к заранее фиксированному типу моделей. | ||
+ | |||
== Исходный код == | == Исходный код == | ||
- | + | [https://mlalgorithms.svn.sourceforge.net/svnroot/mlalgorithms/Group874/Romanenko2010Compare/ Romanenko2010Compare] | |
+ | |||
== Литература == | == Литература == | ||
+ | {{список примечаний}} | ||
+ | |||
+ | {{ЗаданиеВыполнено|Алексей Романенко|В.В.Стрижов|24 декабря 2010||Strijov}} | ||
+ | [[Категория:Практика и вычислительные эксперименты]] |
Текущая версия
Содержание |
Аннотация
Данная работа посвящена исследованию зависимости между пространственными характеристиками (форма, период) временного ряда[1] и распределением параметров регрессионных моделей, которые описывают эти временные ряды. Один из подходов исследовать данную зависимость - посмотреть, как распределены параметры моделей для похожих в некотором смысле временных рядов, и насколько эти распределения различаются для непохожих (различных в некотором смысле) временных рядов.
Постановка задачи
Временным рядом называется последовательность упорядоченных по времени значений некоторой вещественной переменной . Элемент последовательности называется отсчетом временного ряда.
Задача авторегрессионного прогноза заключается в нахождении модели , где вектор параметров модели, которая наилучшим образом приближает следущее значение временного ряда .
Пусть задан временной ряд . Предполагается, что отсчеты были сделаны через равные промежутки времени, и период временного ряда равен , при этом , где . Задана модель ,где случайная величина имеет нормальное распределение . Вектор параметров модели рассматривается как многомерная случайная величина. Пусть плотность распределения параметров имеет вид многомерного нормального распределения с матрицей ковариации . Модель некоторым образом учитывает период временного ряда. Предполагается, модель временного ряда может меняться с течением времени, т.е. для разных подпоследовательностей длины оптимальные параметры модели будут отличаться.
Расстояние между временными рядами
Расстояние между различными подпоследовательностями и можно вычислить как сумму квадратов отклонений:
Однако этот метод учитывает только расстояния между парами отсчетов временного ряда. Метод поиска пути минимальной стоимости (warping path)[1] учитывает не только расстояние между отсчетами рядов, но и форму самих временных рядов.
Предположим, мы имеем две последовательности и . Тогда построим матрицу попарных расстояний:
Далее из элементов матрицы строим путь:
Построенный путь удовлетворяет следующим условиям:
'1 граничные условия:'Стоимостью пути будет
Среди всех путей есть по крайней мере один с минимальной стоимостью. Его стоимость и будем считать расстоянием между последовательностями:
Алгоритм поиска пути минимальной стоимости рекурсивно находит длину пути наименьшей стоимости до каждого элемента матрицы :
Расстояние между параметрами модели
Расстояние между параметрами модели , настроенной на разных подпоследовательностях, можно измерить как расстояние Кульбака-Лейблера между функциями распределения 2-ух случайных величин :
Постановка задачи
Требуется исследовать зависимость расстояния между параметрами модели от расстояния между подпоследовательностями, на которых эти параметры были настроены.
Алгоритм
Для настройки параметров модели используется связный байесовский вывод
где — функция ошибки,
— матрица Гессе функции ошибок,
— функция ошибки в пространстве данных.
Настройка параметрической регрессионной модели происходит в 2 этапа [1], сначала настраиваются параметры при фиксированных гиперпараметрах , затем при вычисленных значениях параметров функция правдоподобия оптимизируется по гиперпараметрам. Процедура повторяется, пока настраиваемые параметры не стабилизируется.
Для простоты вычислений, считаем, что имеет диагональный вид:
.
Вычислительный эксперимент
Пример на реальных данных
Вычислительный эксперимент проводился на реальных данных. Использовались временные ряды потребления электроэнергии в некотором регионе с отсчетами 1 час, период ряда равен . Эксперимент состоит из этапов:
1) из множества порождающих моделей:
была построена их суперпозиция, описывающая потребление электроэнергии за сутки:
2) модель настраивается на подпоследовательности
,
где - номер суток. В результате получаем набор оптимальных параметров и гиперпараметров модели, оптимальных для данной подпоследовательности:
3) строится зависимость расстояния между последовательностями в пространстве параметров:
Результаты экспериментов на реальных данных показывают, что можно выделить среди множества пар временных рядов похожие и непохожие. Используя расстояние Кульбака-Лейблера между распределениями параметров моделей можно установить порог, который поможет определить похожие на заранее выделенный тип временных рядов. Для пояснения вышесказанного приведем пример на модельных данных, в которых участвуют временные ряды двух типов.
Пример на сгенерированных данных
Проведен для для 6 моделей распределения данных: 1) , где ;
2) , где ;
3) , где , - дисперсия случайной величины;
4) , где ;
5) , где ;
6) , где .
Первые три модели относится в первому типу (line), три последних модели относятся ко второму типу (parabola). Прогнозирующая модель была линейной: .
На тестовом примере видно, что чем больше расстояние между рядами в пространстве значений, тем скорее больше будет разница между распределениями настроенных параметров. На картинках можно явно разделить увидеть, что расстояние Кульбака-Лейблера между распределениями настроенных параметров для похожих моделей (line - line или parabola - parabola) значительно меньше расстояния между параметрами непохожих моделей (line-parabola или parabola-line). Таким образом можно настроить такой порог, по которому можно было бы определить, относится ли временной ряд к заранее фиксированному типу моделей.
Исходный код
Литература
Данная статья была создана в рамках учебного задания.
См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе. |