Критерий Стьюдента
Материал из MachineLearning.
(дополнение "2.6 Сравнение разности средних с заданным значением") |
м |
||
(4 промежуточные версии не показаны) | |||
Строка 7: | Строка 7: | ||
Все разновидности критерия Стьюдента являются параметрическими и основаны на дополнительном предположении о нормальности выборки данных. | Все разновидности критерия Стьюдента являются параметрическими и основаны на дополнительном предположении о нормальности выборки данных. | ||
Поэтому перед применением критерия Стьюдента рекомендуется выполнить [[Критерии нормальности|проверку нормальности]]. | Поэтому перед применением критерия Стьюдента рекомендуется выполнить [[Критерии нормальности|проверку нормальности]]. | ||
- | Если гипотеза нормальности отвергается, можно проверить другие распределения, если и они не подходят, то следует воспользоваться [[:Категория:Непараметрические статистические тесты| | + | Если гипотеза нормальности отвергается, можно проверить другие распределения, если и они не подходят, то следует воспользоваться [[:Категория:Непараметрические статистические тесты|непараметрическими статистическими тестами]]. |
== Примеры задач == | == Примеры задач == | ||
Строка 45: | Строка 45: | ||
'''Дополнительное предположение:''' | '''Дополнительное предположение:''' | ||
- | выборка [[простая выборка|простая]] и [[ | + | выборка [[простая выборка|простая]] и [[Нормальное распределение|нормальная]]. |
'''Нулевая гипотеза''' <tex>H_0:\; \bar x = \mu</tex> (выборочное среднее равно заданному числу <tex>\mu</tex>). | '''Нулевая гипотеза''' <tex>H_0:\; \bar x = \mu</tex> (выборочное среднее равно заданному числу <tex>\mu</tex>). | ||
Строка 74: | Строка 74: | ||
'''Дополнительные предположения:''' | '''Дополнительные предположения:''' | ||
- | * обе выборки [[простая выборка|простые]] и [[ | + | * обе выборки [[простая выборка|простые]] и [[Нормальное распределение|нормальные]]; |
* значения дисперсий <tex> \sigma^2_x,\, \sigma^2_y </tex> известны априори; это означает, что дисперсии были оценены заранее не по этим выборкам, а исходя из какой-то другой информации; случай «неизвестных дисперсий», когда такого источника информации нет и дисперсии приходится оценивать по самим выборкам, [[#Сравнение двух выборочных средних при неизвестных неравных дисперсиях|описан ниже]]. | * значения дисперсий <tex> \sigma^2_x,\, \sigma^2_y </tex> известны априори; это означает, что дисперсии были оценены заранее не по этим выборкам, а исходя из какой-то другой информации; случай «неизвестных дисперсий», когда такого источника информации нет и дисперсии приходится оценивать по самим выборкам, [[#Сравнение двух выборочных средних при неизвестных неравных дисперсиях|описан ниже]]. | ||
Строка 81: | Строка 81: | ||
'''Статистика критерия:''' | '''Статистика критерия:''' | ||
::<tex>z = (\bar x - \bar y) \left( \frac{\sigma^2_x}{m} +\frac{\sigma^2_y}{n} \right)^{-1/2}</tex> | ::<tex>z = (\bar x - \bar y) \left( \frac{\sigma^2_x}{m} +\frac{\sigma^2_y}{n} \right)^{-1/2}</tex> | ||
- | имеет стандартное [[ | + | имеет стандартное [[Нормальное распределение]] <tex>\mathcal{N}(0,1)</tex>, |
где | где | ||
::<tex>\displaystyle \bar x = \frac1m \sum_{i=1}^m x_i,\;\; \bar y = \frac1n \sum_{i=1}^n y_i</tex> — выборочные средние. | ::<tex>\displaystyle \bar x = \frac1m \sum_{i=1}^m x_i,\;\; \bar y = \frac1n \sum_{i=1}^n y_i</tex> — выборочные средние. | ||
Строка 88: | Строка 88: | ||
* против альтернативы <tex>H_1:\; \bar x \neq \bar y</tex> | * против альтернативы <tex>H_1:\; \bar x \neq \bar y</tex> | ||
- | ::если <tex> |z| > \Phi_{\alpha/2} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается; | + | ::если <tex> |z| > \Phi_{1-\alpha/2} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается; |
* против альтернативы <tex>H'_1:\; \bar x < \bar y</tex> | * против альтернативы <tex>H'_1:\; \bar x < \bar y</tex> | ||
Строка 103: | Строка 103: | ||
'''Дополнительные предположения:''' | '''Дополнительные предположения:''' | ||
- | * обе выборки [[простая выборка|простые]] и [[ | + | * обе выборки [[простая выборка|простые]] и [[Нормальное распределение|нормальные]]; |
* значения дисперсий равны: <tex> \sigma^2_x = \sigma^2_y </tex>, но априори не известны. | * значения дисперсий равны: <tex> \sigma^2_x = \sigma^2_y </tex>, но априори не известны. | ||
Строка 136: | Строка 136: | ||
'''Дополнительное предположение:''' | '''Дополнительное предположение:''' | ||
- | обе выборки [[простая выборка|простые]] и [[ | + | обе выборки [[простая выборка|простые]] и [[Нормальное распределение|нормальные]]. |
'''Нулевая гипотеза''' <tex>H_0:\; \bar x = \bar y</tex> (средние в двух выборках равны). | '''Нулевая гипотеза''' <tex>H_0:\; \bar x = \bar y</tex> (средние в двух выборках равны). | ||
Строка 168: | Строка 168: | ||
'''Дополнительные предположения:''' | '''Дополнительные предположения:''' | ||
- | * обе выборки [[простая выборка|простые]] и [[ | + | * обе выборки [[простая выборка|простые]] и [[Нормальное распределение|нормальные]]; |
* выборки связные, то есть элементы <tex>x_i,\: y_i</tex> соответствуют одному и тому же объекту, но измерения сделаны в разные моменты (например, до и после обработки). | * выборки связные, то есть элементы <tex>x_i,\: y_i</tex> соответствуют одному и тому же объекту, но измерения сделаны в разные моменты (например, до и после обработки). | ||
Строка 179: | Строка 179: | ||
'''Дополнительное предположение:''' | '''Дополнительное предположение:''' | ||
- | * обе выборки [[простая выборка|простые]] и [[ | + | * обе выборки [[простая выборка|простые]] и [[Нормальное распределение|нормальные]]; |
* равенство дисперсий может предполагаться либо нет — в зависимости от этого применяется один из критериев, описанных выше. | * равенство дисперсий может предполагаться либо нет — в зависимости от этого применяется один из критериев, описанных выше. | ||
Строка 188: | Строка 188: | ||
== История == | == История == | ||
Критерий был разработан Уильямом Госсеттом для оценки качества пива на пивоваренных заводах Гиннесса в Дублине (Ирландия). В связи с обязательствами перед компанией по неразглашению коммерческой тайны (руководство Гиннесса считало таковой использование статистического аппарата в своей работе), статья Госсетта вышла в 1908 году в журнале «Биометрика» под псевдонимом «Student» (Студент). | Критерий был разработан Уильямом Госсеттом для оценки качества пива на пивоваренных заводах Гиннесса в Дублине (Ирландия). В связи с обязательствами перед компанией по неразглашению коммерческой тайны (руководство Гиннесса считало таковой использование статистического аппарата в своей работе), статья Госсетта вышла в 1908 году в журнале «Биометрика» под псевдонимом «Student» (Студент). | ||
- | |||
== Литература == | == Литература == |
Текущая версия
t-критерий Стьюдента — общее название для статистических тестов, в которых статистика критерия имеет распределение Стьюдента. Наиболее часто t-критерии применяются для проверки равенства средних значений в двух выборках. Нулевая гипотеза предполагает, что средние равны (отрицание этого предположения называют гипотезой сдвига).
Все разновидности критерия Стьюдента являются параметрическими и основаны на дополнительном предположении о нормальности выборки данных. Поэтому перед применением критерия Стьюдента рекомендуется выполнить проверку нормальности. Если гипотеза нормальности отвергается, можно проверить другие распределения, если и они не подходят, то следует воспользоваться непараметрическими статистическими тестами.
Примеры задач
Чаще всего критерий Стьюдента применяется для проверки равенства средних значений в двух выборках.
Пример 1. Первая выборка — это пациенты, которых лечили препаратом А. Вторая выборка — пациенты, которых лечили препаратом Б. Значения в выборках — это некоторая характеристика эффективности лечения (уровень метаболита в крови, температура через три дня после начала лечения, срок выздоровления, число койко-дней, и т.д.) Требуется выяснить, имеется ли значимое различие эффективности препаратов А и Б, или различия являются чисто случайными и объясняются «естественной» дисперсией выбранной характеристики.
Пример 2. Первая выборка — это значения некоторой характеристики состояния пациентов, записанные до лечения. Вторая выборка — это значения той же характеристики состояния тех же пациентов, записанные после лечения. Объёмы обеих выборок обязаны совпадать; более того, порядок элементов (в данном случае пациентов) в выборках также обязан совпадать. Такие выборки называются связными. Требуется выяснить, имеется ли значимое отличие в состоянии пациентов до и после лечения, или различия чисто случайны.
Пример 3. Первая выборка — это поля, обработанные агротехническим методом А. Вторая выборка — поля, обработанные агротехническим методом Б. Значения в выборках — это урожайность. Требуется выяснить, является ли один из методов эффективнее другого, или различия урожайности обусловлены случайными факторами.
Пример 4. Первая выборка — это дни, когда в супермаркете проходила промо-акция типа А (красные ценники со скидкой). Вторая выборка — дни промо-акции типа Б (каждая пятая пачка бесплатно). Значения в выборках — это показатель эффективности промо-акции (объём продаж, либо выручка в рублях). Требуется выяснить, какой из типов промо-акции более эффективен.
Варианты применения
Сравнение выборочного среднего с заданным значением
Задана выборка .
Дополнительное предположение: выборка простая и нормальная.
Нулевая гипотеза (выборочное среднее равно заданному числу
).
Статистика критерия:
имеет распределение Стьюдента с степенями свободы,
где
— выборочное среднее,
— выборочная дисперсия.
Критерий (при уровне значимости ):
- против альтернативы
- если
, то нулевая гипотеза отвергается;
- если
- против альтернативы
- если
, то нулевая гипотеза отвергается;
- если
- против альтернативы
- если
, то нулевая гипотеза отвергается;
- если
где
есть
-квантиль распределения Стьюдента с
степенями свободы.
Сравнение двух выборочных средних при известных дисперсиях
Заданы две выборки .
Дополнительные предположения:
- обе выборки простые и нормальные;
- значения дисперсий
известны априори; это означает, что дисперсии были оценены заранее не по этим выборкам, а исходя из какой-то другой информации; случай «неизвестных дисперсий», когда такого источника информации нет и дисперсии приходится оценивать по самим выборкам, описан ниже.
Нулевая гипотеза (средние в двух выборках равны).
Статистика критерия:
имеет стандартное Нормальное распределение ,
где
— выборочные средние.
Критерий (при уровне значимости ):
- против альтернативы
- если
, то нулевая гипотеза отвергается;
- если
- против альтернативы
- если
, то нулевая гипотеза отвергается;
- если
- против альтернативы
- если
, то нулевая гипотеза отвергается;
- если
где
есть
-квантиль стандартного нормального распределения.
Сравнение двух выборочных средних при неизвестных равных дисперсиях
Заданы две выборки .
Дополнительные предположения:
- обе выборки простые и нормальные;
- значения дисперсий равны:
, но априори не известны.
Нулевая гипотеза (средние в двух выборках равны).
Статистика критерия:
имеет распределение Стьюдента с степенями свободы,
где
— выборочные дисперсии;
— выборочные средние.
Критерий (при уровне значимости ):
- против альтернативы
- если
, то нулевая гипотеза отвергается;
- если
- против альтернативы
- если
, то нулевая гипотеза отвергается;
- если
- против альтернативы
- если
, то нулевая гипотеза отвергается;
- если
где
есть
-квантиль распределения Стьюдента с
степенями свободы.
Сравнение двух выборочных средних при неизвестных неравных дисперсиях
Задача сравнения средних двух нормально распределённых выборок при неизвестных и неравных дисперсиях известна как проблема Беренса-Фишера. Точного решения этой задачи до настоящего времени нет. На практике используются различные приближения.
Заданы две выборки .
Дополнительное предположение: обе выборки простые и нормальные.
Нулевая гипотеза (средние в двух выборках равны).
Статистика критерия:
где
— выборочные дисперсии;
— выборочные средние.
Критерий (при уровне значимости ):
- против альтернативы
- если
, то нулевая гипотеза отвергается;
- если
- против альтернативы
- если
, то нулевая гипотеза отвергается;
- если
- против альтернативы
- если
, то нулевая гипотеза отвергается;
- если
где квантили определяются по-разному в различных приближениях:
- Критерий Кохрена-Кокса:
, где
есть
-квантиль распределения Стьюдента с
степенями свободы;
- Критерий Сатервайта:
есть
-квантиль распределения Стьюдента с числом степеней свободы
- Критерий Крамера-Уэлча:
есть
-квантиль распределения Стьюдента с числом степеней свободы
Сравнение двух выборочных средних в связанных выборках
Заданы две выборки одинаковой длины .
Дополнительные предположения:
- обе выборки простые и нормальные;
- выборки связные, то есть элементы
соответствуют одному и тому же объекту, но измерения сделаны в разные моменты (например, до и после обработки).
Нулевая гипотеза (средние в двух выборках равны).
Сравнение выборочных средних в связанных выборках ничем не отличается от сравнения среднего разности с нулём.
Сравнение разности средних с заданным значением
Заданы две выборки .
Дополнительное предположение:
- обе выборки простые и нормальные;
- равенство дисперсий может предполагаться либо нет — в зависимости от этого применяется один из критериев, описанных выше.
Нулевая гипотеза (средние в двух выборках отличаются на заданную величину).
Модифицированная первая выборка сравнивается с исходной второй выборкой с помощью одного из критериев, описанных выше.
История
Критерий был разработан Уильямом Госсеттом для оценки качества пива на пивоваренных заводах Гиннесса в Дублине (Ирландия). В связи с обязательствами перед компанией по неразглашению коммерческой тайны (руководство Гиннесса считало таковой использование статистического аппарата в своей работе), статья Госсетта вышла в 1908 году в журнале «Биометрика» под псевдонимом «Student» (Студент).
Литература
- Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.
Ссылки
- Проверка статистических гипотез — о методологии проверки статистических гипотез.
- Статистика (функция выборки)
- Student's t-test (Wikipedia).
- t-критерий Стьюдента (Википедия).
- Распределение Стьюдента (Википедия).
- Квантили распределения Стьюдента (Википедия).