Мультиномиальное распределение независимых случайных величин
Материал из MachineLearning.
(→Определение) |
(→Определение) |
||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| + | '''Мультиномиа́льное (полиномиа́льное) распределе́ние''' в [[Теория вероятностей|теории вероятностей]] — это обобщение [[Биномиальное распределение|биномиального распределения]] на случай независимых испытаний [[Случайный эксперимент|случайного эксперимента]] с несколькими возможными исходами. | ||
| + | |||
'''Мультиномиа́льное (полиномиа́льное) распределе́ние''' в [[Теория вероятностей|теории вероятностей]] — это обобщение [[Биномиальное распределение|биномиального распределения]] на случай независимых испытаний [[Случайный эксперимент|случайного эксперимента]] с несколькими возможными исходами. | '''Мультиномиа́льное (полиномиа́льное) распределе́ние''' в [[Теория вероятностей|теории вероятностей]] — это обобщение [[Биномиальное распределение|биномиального распределения]] на случай независимых испытаний [[Случайный эксперимент|случайного эксперимента]] с несколькими возможными исходами. | ||
| Строка 5: | Строка 7: | ||
Пусть <tex>X_1,\ldots, X_n</tex> - [[Независимость (теория вероятностей)|независимые]] одинаково распределённые [[Случайная величина|случайные величины]], такие, что их [[распределение]] задаётся [[Функция вероятности|функцией вероятности]]: | Пусть <tex>X_1,\ldots, X_n</tex> - [[Независимость (теория вероятностей)|независимые]] одинаково распределённые [[Случайная величина|случайные величины]], такие, что их [[распределение]] задаётся [[Функция вероятности|функцией вероятности]]: | ||
:<tex>\mathbb{P}(X_i = j) = p_j,\; j=1,\ldots, k</tex>. | :<tex>\mathbb{P}(X_i = j) = p_j,\; j=1,\ldots, k</tex>. | ||
| + | |||
Интуитивно [[Случайное событие|событие]] <tex>\{X_i = j\}</tex> означает, что испытание с номером <tex>i</tex> привело к исходу <tex>j</tex>. Пусть случайная величина <tex>Y_j</tex> равна количеству испытаний, приведших к исходу <tex>j</tex>: | Интуитивно [[Случайное событие|событие]] <tex>\{X_i = j\}</tex> означает, что испытание с номером <tex>i</tex> привело к исходу <tex>j</tex>. Пусть случайная величина <tex>Y_j</tex> равна количеству испытаний, приведших к исходу <tex>j</tex>: | ||
:<tex>Y_j = \sum_{i=1}^n \mathbf{1}_{\{X_i = j\}},\; j = 1,\ldots, k</tex>. | :<tex>Y_j = \sum_{i=1}^n \mathbf{1}_{\{X_i = j\}},\; j = 1,\ldots, k</tex>. | ||
| + | |||
Тогда распределение вектора <tex>\mathbf{Y} = (Y_1,\ldots,Y_k)^{\top}</tex> имеет функцию вероятности | Тогда распределение вектора <tex>\mathbf{Y} = (Y_1,\ldots,Y_k)^{\top}</tex> имеет функцию вероятности | ||
<tex>p_{\mathbf{Y}}(\mathbf{y}) = \left\{\begin{matrix} | <tex>p_{\mathbf{Y}}(\mathbf{y}) = \left\{\begin{matrix} | ||
| Строка 12: | Строка 16: | ||
0, & \sum\limits_{j=1}^k y_i \not= n | 0, & \sum\limits_{j=1}^k y_i \not= n | ||
\end{matrix} | \end{matrix} | ||
| - | \right., \quad \mathbf{y} = (y_1,\ldots, y_k)^{\top} \in \mathbb{N}^k_0</tex>, | + | \right., \quad \mathbf{y} = (y_1,\ldots, y_k)^{\top} \in \mathbb{N}^k_0</tex>,где |
| - | где | + | |
:<tex>{n \choose {y_1 \ldots y_k}} \equiv \frac{n!}{y_1! \ldots y_k!}</tex> — [[мультиномиальный коэффициент]] (полиномиальный коэффициент). | :<tex>{n \choose {y_1 \ldots y_k}} \equiv \frac{n!}{y_1! \ldots y_k!}</tex> — [[мультиномиальный коэффициент]] (полиномиальный коэффициент). | ||
| + | |||
| + | == Вектор средних и матрица ковариации == | ||
| + | |||
| + | [[Математическое ожидание]] случайной величины <tex>Y_j</tex> имеет вид: | ||
| + | <tex>\mathbb{E}[Y_j] = np_j</tex>. | ||
| + | Диагональные элементы [[Ковариационная матрица|матрицы ковариации]] <tex>\Sigma = (\sigma_{ij})</tex> являются [[Дисперсия случайной величины|дисперсиями]] биномиальных случайных величин, а следовательно | ||
| + | : <tex>\sigma_{jj}=\mathrm{D}[Y_j] = np_j(1-p_j),\; j =1,\ldots, k</tex>. | ||
| + | Для остальных элементов имеем | ||
| + | : <tex>\sigma_{ij} = \mathrm{cov}(Y_i,Y_j) = -np_ip_j,\; i \not= j</tex>. | ||
| + | [[Ранг матрицы]] ковариации мультиномиального распределения равен <tex>k-1</tex>. | ||
==Вектор средних и матрица ковариации== | ==Вектор средних и матрица ковариации== | ||
Версия 13:48, 30 октября 2013
Мультиномиа́льное (полиномиа́льное) распределе́ние в теории вероятностей — это обобщение биномиального распределения на случай независимых испытаний случайного эксперимента с несколькими возможными исходами.
Мультиномиа́льное (полиномиа́льное) распределе́ние в теории вероятностей — это обобщение биномиального распределения на случай независимых испытаний случайного эксперимента с несколькими возможными исходами.
Содержание |
Определение
Пусть - независимые одинаково распределённые случайные величины, такие, что их распределение задаётся функцией вероятности:
.
Интуитивно событие означает, что испытание с номером
привело к исходу
. Пусть случайная величина
равна количеству испытаний, приведших к исходу
:
.
Тогда распределение вектора имеет функцию вероятности
,где
— мультиномиальный коэффициент (полиномиальный коэффициент).
Вектор средних и матрица ковариации
Математическое ожидание случайной величины имеет вид:
.
Диагональные элементы матрицы ковариации
являются дисперсиями биномиальных случайных величин, а следовательно
-
.
Для остальных элементов имеем
-
.
Ранг матрицы ковариации мультиномиального распределения равен .
Вектор средних и матрица ковариации
Математическое ожидание случайной величины имеет вид:
.
Диагональные элементы матрицы ковариации
являются дисперсиями биномиальных случайных величин, а следовательно
Для остальных элементов имеем
Ранг матрицы ковариации мультиномиального распределения равен .
См. также
- Мультиномиальное распределение зависимых случайных величин
- Мультиномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли
- Парадоксы мультиномиального распределения
- Биномиальное распределение одной случайной величины
- Биномиальное распределение двух случайных величин
- Биномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли
- Парадоксы биномиального распределения
