Мультиномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли
Материал из MachineLearning.
(предупреждение) |
(→См.также) |
||
Строка 733: | Строка 733: | ||
==См.также== | ==См.также== | ||
- | |||
*[[Парадоксы биномиального распределения]] | *[[Парадоксы биномиального распределения]] | ||
+ | *[[Биномиальное распределение]]одной случайной величины | ||
+ | *[[Биномиальное распределение двух случайных величин]] | ||
*[[Биномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли]] | *[[Биномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли]] | ||
- | |||
*[[Парадоксы мультиномиального распределения]] | *[[Парадоксы мультиномиального распределения]] | ||
+ | *[[Мультиномиальное распределение независимых случайных величин]] | ||
+ | *[[Мультиномиальное распределение зависимых случайных величин]] | ||
+ | *[[Мультиномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли]] | ||
+ | *[[Парадоксы мультиномиального распределения]] | ||
+ | |||
+ | |||
[[Категория:Вероятностные распределения]] | [[Категория:Вероятностные распределения]] |
Версия 11:56, 5 ноября 2013
Уважаемые коллеги!
Эта статья изобилует грубыми математическими ошибками (начиная с непонимания самой сути математического доказательства), как и другие статьи того же автора:
Удалить это безобразие и забанить автора — самое простое решение. Есть и другой вариант — попробовать помочь всем миром и написать коллективную рецензию, объяснив автору его ошибки. Для этого есть страницы Обсуждений статей и Обсуждение участника:Vitsemgol. Это большая работа, непосильная для одного человека, но для сообщества вполне осуществимая. Коллеги, давайте отнесёмся к проблеме как к исследованию. Есть несколько открытых вопросов, которые бросают нам вызов. Упрощает ли Вики задачу интегрирования «непризнанного гения» в профессиональное сообщество? Способен ли человек, ворвавшийся в чужой монастырь со своим уставом, покаяться и услышать, что ему скажут? Откликнется ли хоть кто-то из сообщества? Хватит ли нам всем терпимости? Это добрый эксперимент, дорогие коллеги! Как Администратор, предупреждаю: увижу «войну правок», эмоции и прочие проявления непрофессионализма — прекращу эксперимент как неудачный и удалю всё. — К.В.Воронцов 02:52, 4 ноября 2013 (MSK) |
Определение
Мультиномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли — совместное распределение вероятностей зависимых (кроме первой) случайных величин
определённых на точечных пространствах элементарных событий
и принимающих в дискретные последовательные моменты времени
с равновероятными успехами соответствующих Бернулли распределений
целые неотрицательные значения
взаимосвязанные условием
согласно которому
в - ый момент времени - ая случайная величина принимает значение при условии, что в предшествующий момент времени предшествующая случайная величина приняла значение .
Схема повторных циклов случайных зависимых экспериментов с равновероятными успехами испытаний Бернулли
Мултиномиальное распределение появляется в так называемой мультиномиальной схеме повторных циклов случайных зависимых экспериментов. Каждый цикл экспериментов осуществляют методом выбора без возвращения в дискретной временной последовательности , номера точек которой соответствуют номерам случайных величин.
Каждая из случайных величин распределения — это число наступлений одного соответствующего события
в - ый момент времени при условии, что в - ый момент произошло наступлений предшествующего события с положительным исходом, все вероятности которых равны , нормированы и неизменны во время проведения экспериментов.
Если в каждом цикле экспериментов вероятность наступления события равна , то полиномиальная вероятность равна вероятности того, что при экспериментах события наступят раз соответственно.
Случайная величина мультиномиального распределения в соответствующей точке дискретной временной последовательности имеет:
пространство элементарных событий
вероятность
математическое ожидание
и дисперсию
Пространство элементарных событий мультиномиального распределения есть сумма точечных пространств элементарных событий его случайных величин, образующих дискретную последовательность точек цикла, а вероятность мультиномиального распределения — произведение вероятностей его случайных величин.
Технические задачи и технические результаты
Для получения мультиномиального распределения необходимо решить две технические задачи и получить технические результаты, относящиеся к математической физике (http://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая физика),[1]
Первая и вторая технические задачи — соответственно получение вероятности и математического ожидания мультиномиального распределения.
Технические результаты — набор технических параметров, с одной стороны, минимально необходимый для описания мультиномиального распределения и его случайных величин, с другой стороны, позволяющий при необходимости расширить число параметров с целью получения дополнительных сведений о распределении, например, таких как корреляционная матрица, ковариационная матрица , -квадрат критерий и другие.
Минимально необходимый набор параметров при решении первой технической задачи: пространство элементарных событий, вероятность, математическое ожидание и дисперсия каждой случайной величины распределения, дисперсия распределения и произведение математических ожиданий его случайных величин как исходное выражение для решения второй технической задачи.
При решении второй технической задачи минимально необходимый набор параметров аналогичен предыдущему набору. Исключен из-за ненадобности один параметр — произведение математических ожиданий случайных величин и дополнен двумя параметрами — максимальной вероятностью и максимальной дисперсией мультиномиального распределения.
Характеристики мультиномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли
Пространство элементарных событий | |
Вероятность | |
Максимальная вероятность
(при математическом ожидании распределения) | |
Математическое ожидание
(как максимальное произведение математических ожиданий случайных величин) | |
Дисперсия | |
Максимальная дисперсия
(при математическом ожидании распределения) | |
Ковариационная матрица | , где
|
Корреляционная матрица | , где
|
- критерий |
Вероятностная схема получения мультиномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли
содержит циклы повторных зависимых экспериментов. Количество циклов не ограничено. В каждом цикле число экспериментов равно числу случайных величин распределения и в общем случае только первый эксперимент является независимым, а все последующие эксперименты в цикле зависимы от результатов предшествующих экспериментов. Все эксперименты осуществляют методом выбора без возвращения — изъятые элементы не возвращают на свое прежнее место до полного окончания данного цикла.
Случайные события – выборки случайных объемов осуществляют из - множества различимых (различающиеся между собой хотя бы одним признаком, например, порядковым номером) неупорядоченных (хаотично расположенных) элементов и следуют в последовательные моменты времени .
Число выборок равно числу случайных величин распределения.
Случайные величины распределения — появления случайного числа элементов - множества в - подмножествах , с вероятностями каждого из них.
Попадание одного произвольного элемента - множества в одно из - подмножеств — независимое событие — испытание Бернулли с положительным исходом; вероятности этих испытаний равны , нормированы и неизменны во время проведения повторных зависимых экспериментов.
Один цикл повторных зависимых экспериментов, осуществляемых методом выбора без возвращения — последовательность выборок случайных объёмов , обработка результатов разделения - множества на - подмножества, в последовательные моменты времени и возврат всех изъятых элементов на прежнее место к началу следующего цикла.
Совместное проявление вероятностей попадания выборок случайных объёмов в подмножеств в одном цикле экспериментов — вероятность мультиномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли.
Урновая модель получения мультиномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли
Состав: одна исходная урна и приёмных урн. Объем каждой из них не менее объёма исходной урны.
Нумерация приёмных урн соответствует нумерации случайных величин мультиномиального распределения.
В начальный момент времени исходная урна содержит - множество различимых неупорядоченных элементов, а все приёмные урны пусты.
В первый момент времени из исходной урны осуществляют первую выборку случайного объёма и направляют её в первую приёмную урну с вероятностью каждого элемента.
Во второй момент времени из оставшихся различимых неупорядоченных элементов исходной урны осуществляют вторую выборку случайного объёма и направляют её во вторую приёмную урну с вероятностью каждого элемента.
И так далее.
Наконец, в - ый момент времени все элементы , оставшиеся в исходной урне, направляют в - ую приёмную урну с вероятностью каждого.
В результате исходная урна пуста, а все её элементы размещены в приёмных урнах. После обработки результатов разбиения исходного - множества на - подмножеств все элементы из приёмных урн возвращают в исходную урну.
На этом один цикл повторных зависимых экспериментов закончен, и урновая модель готова к проведению следующего аналогичного цикла.
Произведение вероятностей попадания элементов исходного множества в приёмные урны есть вероятность мультиномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли.
Способ получения вероятностей мультиномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли
Этот способ относится к техническим задачам разделения дискретного целого на составные части случайных объёмов.
Целым является множество дискретных элементов, различимых (хотя бы одним признаком, например, порядковыми номерами) и не упорядоченных (хаотично расположенных): .
Составные части — дискретные подмножества , в сумме равные объёму множества.
Разделение множества на подмножества осуществляют выборками без возвращения.
Выборки следуют во времени одна за другой.
В начальный момент времени , не обязательно равный нулю , множество содержит различимых неупорядоченных элементов.
В первый момент времени из -множества осуществляют первую выборку случайного объёма с вероятностью каждого её элемента.
Вероятность первой случайной величины мультиномиального распределения определяется числом сочетаний из по , умноженным на вероятность выбора одного элемента, возведённую в степень числа выбранных элементов:
Во второй момент времени из оставшихся элементов исходного множества осуществляют вторую выборку случайного объёма с вероятностью каждого её элемента.
Вероятность второй случайной величины при условии, что в первый момент времени вероятность первой случайной величины мультиномиального распределения приняла значение , определяется числом сочетаний из по , умноженным на вероятность выбора одного её элемента, возведённую в степень числа выбранных элементов:
И так далее.
В -ый момент времени из оставшихся элементов исходного множества осуществляют -ую выборку случайного объёма с вероятностью каждого её элемента. Вероятность -ой случайной величины при условии, что в -ый момент времени вероятность -ой случайной величины мультиномиального распределения приняла значение , определяется числом сочетаний из по , умноженным на вероятность выбора одного её элемента, возведённую в степень числа выбранных элементов:
Произведение всех вероятностей есть вероятности мультиномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли — совместное распределение вероятностей зависимых (кроме первой) случайных величин
В частном случае, когда число случайных величин равно двум, имеют место вероятности биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли
Способ получения математического ожидания мультиномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли
Этот способ относится к техническим задачам разделения дискретного целого на составные части и отличается от способа получения вероятностей мультиномиального распределения интерпретации 21-го века тем, что число выборок равно числу элементов исходного множества и каждая выборка имеет единичный объём: .
Целым является множество дискретных элементов, различимых (хотя бы одним признаком, например, порядковыми номерами) и не упорядоченных (хаотично расположенных): .
Составные части — дискретные подмножества , в сумме равные объёму множества.
Разделение множества на подмножества осуществляют выборками без возвращения.
Выборки следуют во времени одна за другой.
В начальный момент времени , не обязательно равный нулю , множество содержит различимых неупорядоченных элементов.
В первый момент времени из -множества осуществляют первую выборку единичного объёма с вероятностью .
Вероятность первой случайной величины мультиномиального распределения определяется числом сочетаний из по , умноженным на вероятность выбора одного элемента:
Во второй момент времени из оставшихся элементов исходного множества осуществляют вторую выборку единичного объёма с вероятностью .
Вероятность второй случайной величины при условии, что в первый момент времени вероятность первая случайная величина мультиномиального распределения приняла значение , определяется числом сочетаний из по , умноженным на вероятность выбора одного элемента:
И так далее.
В -ый момент времени из оставшихся элементов исходного множества осуществляют -ую выборку единичного объёма с вероятностью .
Вероятность -ой случайной величины при условии, что в -ый момент времени вероятность -ой случайной величины мультиномиального распределения приняла значение , определяется числом сочетаний из по , умноженным на вероятность выбора одного элемента:
Произведение всех вероятностей есть математическое ожидание мультиномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли — совместное распределение вероятностей зависимых (кроме первой) случайных величин
Причём, математическое ожидание мультиномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли полностью совпадает с математическим ожиданием мультиномиального распределения интерпретации 21-го века.
В частном случае, когда число случайных величин равно двум и множество содержит два элемента , имеет место математическое ожидание биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли , которое полностью совпадает с математическим ожиданием биномиального распределения интерпретации 21-го века.
Два варианта получения математического ожидания мультиномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли:
или как максимум произведения математических ожиданий случайных величин мультиномиального распределения,
или как максимум вероятности мультиномиального распределения.
Необходимые и достаточные условия в обоих вариантах одни и те же.
Необходимые условия
Достаточные условия
Математическое ожидание и максимальная вероятность мультиномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли соответственно
максимальная дисперсия
пространство элементарных событий
расположенное в точках временной последовательности. Число случайных величин распределения равно и каждая случайная величина принимает единичное значение: , .
Характеристики случайных величин при получении математического ожидании мультиномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли:
пространство элементарных событий
вероятность
математическое ожидание
дисперсия
Урновая модель получения математического ожидания мультиномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли
содержит одну исходную урну и приёмных урн единичных объемов. Нумерация приёмных урн соответствует нумерации случайных величин распределения.
В начальный момент времени исходная урна содержит - множество различимых неупорядоченных элементов, а все приёмные урны пусты.
В первый момент времени из исходной урны осуществляют первую выборку единичного объёма и направляют её в первую приёмную урну с вероятностью .
Во второй момент времени из исходной урны, содержащей элементов осуществляют вторую выборку единичного объёма и направляют её во вторую приёмную урну с вероятностью .
И так далее.
Наконец, в последний, - ый момент времени из исходной урны, содержащей один элемент , направляют его в - ую приемную урну с вероятностью .
В результате исходная урна пуста, а все её элементов по одному размещены в приёмных урнах.
После обработки результатов разбиения исходного - множества на - подмножеств все элементы из приёмных урн возвращают в исходную урну.
На этом один цикл повторных зависимых экспериментов закончен, и урновая модель готова к проведению следующего аналогичного цикла.
Произведение вероятностей попадания по одному произвольному элементу исходного - множества в приёмных урн есть математическое ожидание мультиномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли.
Локальные экстремумы математического ожидания мультиномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли
Мультиномиальное распределение в окрестности своего математического ожидания (таблица 2, строка 2) имеет локальные экстремумы и вероятности, и дисперсии.
Значения восьми случайных величин | Вероятность | Дисперсия | Экстремумы | |||||||
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0.240×10-2 | 3.937 | Математическое ожидание |
2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0.120×10-2 | 3.172 | |
2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0.600×10-3 | 2.625 | |
2 | 2 | 2 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0.300×10-3 | 2.297 | |
2 | 2 | 2 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.150×10-3 | 2.187 | 1-й локальный минимум |
3 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0.400×10-3 | 2,516 | 1-й локальный максимум |
3 | 2 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0.200×10-3 | 2.078 | |
3 | 2 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.100×10-3 | 1.859 | |
3 | 3 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.334×10-4 | 1.641 | 2-й локальный минимум |
4 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0.100×10-3 | 1.969 | 2-й локальный максимум |
4 | 2 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.500×10-4 | 1.641 | |
4 | 2 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.250×10-4 | 1.531 | |
4 | 2 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.250×10-4 | 1.531 | |
4 | 3 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.167×10-5 | 1.422 | |
4 | 4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.417×10-5 | 1.312 | 3-й локальный минимум |
5 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.200×10-4 | 1.531 | 3-й локальный максимум |
5 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.100×10-4 | 1.312 | |
5 | 3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.334×10-5 | 1.203 | |
6 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.334×10-5 | 1.203 | |
6 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.167×10-5 | 1.094 | |
7 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.477×10-6 | 0.984 | |
8 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.596×10-7 | 0.875 |
Локальные максимумы и минимумы
Локальные максимумы и минимумы мультиномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли полностью совпадают с локальными максимумами и минимумами мультиномиального распределения интерпретации 21-го века.
Локальные максимумы (жирный шрифт) соответствуют таким числовым значениям случайных величин, когда одна из них имеет значение, отличное от единичного, а остальные принимают единичные значения. При этом, чем меньшее значение, отличное от единичного, принимает одна случайная величина и чем больше единичных значений принимают остальные случайные величины распределения, тем ближе локальный максимум к математическому ожиданию мультиномиального распределения. В пределе, когда все случайные величины принимают единичные значения (при условии k=n), имеет место математическое ожидание мультиномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли.
При математическом ожидании мультиномиального распределения максимальна и дисперсия мультиномиального распределения, а максимальная вероятность мультиномиального распределения численно равна математическому ожиданию мультиномиального распределения.
Локальные минимумы (наклонный шрифт), как правило, расположены между локальными максимумами и уменьшаются по мере удаления от математического ожидания мультиномиального распределения. Исключение составляют комбинации, предшествующие локальному максимуму и имеющие равные знаменатели мультиномиального (полиномиального) коэффициента (строки 4 и 5 снизу: 5!3!=6!1!1! и 0!=1!=1).
Определение локальных экстремумов основано на вычислении вероятностей мультиномиального распределения. При этом все комбинации значений случайных величин равно возможны и вероятность каждой из них равна . В частности, в таблице 1 , . Вероятность мультиномиального распределения, у которого, например, (таблица 1, 3-я строка сверху: 22111100) две случайные величины имеют числовые значения 2, четыре случайные величины имеют числовые значения 1 и две случайные величины имеют числовые значения 0 и которые могут быть расположены в произвольном порядке, определяется по формуле
Аналогично рассчитываются вероятности мультиномиального распределения для всех других комбинаций случайных величин.
Мультиномиальное распределение как процесс выполнения взаимосвязанных действий над объектами
Объекты: множество, его подмножества и их элементы как объективная реальность, существующая вне нас и независимо от нас. Мультиномиальное распределение это:
- случайный процесс безвозвратного разделения во времени и в пространстве конечного - множества различимых неупорядоченных элементов (),
- разделение множества осуществляют выборками без возвращения (изъятые из множества элементы не возвращают обратно во множество до полного окончания экспериментов),
- сумма объёмов всех выборок равна объёму исходного множества , при этом только одна из выборок может иметь случайный объём в пределах всего объёма исходного множества ,
- попадания одного произвольного элемента множества в одно из подмножеств принимают за успешно завершившееся событие соответствующего Бернулли распределения ,
- вероятности успешно завершившихся событий всех Бернулли распределения принимают за неизменные в процессе разбиения множества и нормируют их согласно аксиоматике Колмогорова,
- очерёдность следования выборок принимают за нумерацию случайных величин полиномиального распределения,
- случайный объём каждой выборки в момент времени принимают за числовое значение соответствующей случайной величины полиномиального распределения при условии, что в предшествующий момент времени предшествующая случайная величина приняла числовое значение ,
- результаты каждого разбиения обрабатывают вероятностными методами, определяют технические характеристики всех выборок и принимают их за технические характеристики случайных величин мультиномиального распределения,
- минимально необходимый набор технических характеристик случайных величин и мультиномиального распределения в целом это: пространство элементарных событий, вероятность, математическое ожидание и дисперсия,
- математическое ожидание мультиномиального распределения имеет место, когда число выборок равно числу элементов -множества и численно равно откуда - математическое ожидание биномиального распределения.
Мультиномиальное распределение и цепи Маркова: совпадения и отличия, частный случай
Мультиномиальное распределение появляется в последовательности зависимых случайных испытаний с конечным или счётным числом исходов. По сути — это цепь Маркова, где -ая случайная величина зависима от предшествующей -ой случайной величины
следующим образом: -ая случайная величина в -ый момент времени принимает числовое значение, равное , при условии, что в -ый момент времени -ая случайная величина приняла числовое значение, равное . Случайные величины следуют одна за другой в порядке возрастания своих номеров.
, называемое начальным распределением цепи Маркова, для мультиномиального распределения не имеет смысла , поскольку нумерация случайных величин начинается с единицы: .
Переходная вероятность мультиномиального распределения
является дискретной функцией времени. Следовательно, и мультиномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли
-
как произведение его случайных величин, является дискретной функцией времени, иными словами, мультиномиальное распределение является марковским процессом с дискретным временем.
Сумма всех вероятностей мультиномиального распределения равна единице. Следовательно, мультиномиальное распределение как цепь Маркова, является стахостической.
Однако в отличие от марковских цепей и марковских процессов мультиномиальное распределение не обладает свойством отсутствия последействия, согласно которому для любого испытания допускается зависимость его от непосредственно предшествующего ему испытания (и только от него).
Причина заключается в том, что в мультиномиальном распределении имеется ещё одна зависимость — каждая случайная величина (кроме первой) зависима от всех ей предшествующих случайных величин.
Зависимость проявляется в том, что предшествующая случайная величина () мультиномиального распределения в соответствующий момент времени ( ) сокращает на своё числовое значение () верхнюю границу пространства элементарных событий следующей за ней случайной величины ():
Как следствие, все предшествующие случайные величины (если их числовые значения отличны от нуля) поочерёдно в соответствующие моменты времени сокращают на свои числовые значения верхнюю границу пространства элементарных событий последней случайной величины.
В частном случае, когда , имеет место биномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли.
С точки зрения цепей Маркова — биномиальное распределение — это простейший марковский процесс с дискретным временем, в котором:
вторая случайная величина зависима от первой (и только от неё)
всего лишь одна переходная вероятность
процесс стахостический, поскольку сумма вероятностей равна единице ;
как и в мультиномиальном распределение, начальное состояние цепи Маркова , для биномиального распределения не имеет смысла , поскольку нумерация случайных величин начинается с единицы: .
Связь с другими распределениями
Если хотя бы для одной пары вероятностей, то имеет место мультиномиальное распределение интерпретации 21-го века.
Если и все случайные величины распределения считались независмыми, то в 20-ом веке имели место следующие названия: распределение Максвелла - Больцмана [1], статистика Максвелла - Больцмана [1], распределение Больцмана [1], статистика Больцмана [1].
Если , то имеет место биномиальное распределение интерпретации 21-го века, иными словами http://ru.science.wikia.com/wiki/Биномиальное распределение:новая интерпретация.
Если , то имеет место биномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли.
Литература
См.также
- Парадоксы биномиального распределения
- Биномиальное распределениеодной случайной величины
- Биномиальное распределение двух случайных величин
- Биномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли
- Парадоксы мультиномиального распределения
- Мультиномиальное распределение независимых случайных величин
- Мультиномиальное распределение зависимых случайных величин
- Мультиномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли
- Парадоксы мультиномиального распределения