Участник:Александр Двойнев/Метод касательных. Метод секущих

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(→Изложение метода)
Строка 1: Строка 1:
== Введение ==
== Введение ==
-
Пусть на отрезке <tex>[a,b]</tex> задана функция <tex>f(x)</tex>. Требуется найти корни уравнения
+
Пусть задана функция <tex>f(x)</tex> действительного переменного. Требуется найти корни уравнения
{{eqno|1}}
{{eqno|1}}
::<tex>f(x)=0.</tex>
::<tex>f(x)=0.</tex>
Строка 7: Строка 7:
== Изложение метода ==
== Изложение метода ==
-
===Метод Ньютона===
+
===Метод касательных (Ньютона-Рафсона)===
-
Пусть <tex>x*</tex> - корень уравнения {{eqref|1}}, а <tex>f'(x)</tex> существует, непрерывна и отлична от нуля
+
Пусть на отрезке <tex>[a,b]</tex> существует единственный корень уравнения {{eqref|1}}: <tex>x*</tex>
 +
{{eqno|2}}
 +
::<tex>f(x*)=0</tex>,
 +
а <tex>f'(x)</tex> существует, непрерывна и отлична от нуля на <tex>[a,b]</tex>. Перепишем {{eqref|2}} следующим образом:
 +
::<tex>f(x^k=(x*-x^k))=0</tex>
 +
и применим к этому выражению [[формула Лагранжа|формулу Лагранжа]]:
 +
::<tex>f(x^k)+f'(\bar{x})(x*-x^k)=0, \;\bar{x} \in [a,b].</tex>
 +
Заменим <tex> \bar x</tex> на <tex>x^k</tex>, а <tex>x*</tex> - на <tex>x^{k+1}</tex> и получим формулу итерационного процесса:
 +
::<tex>f(x^k)+f'(x^k)(x^{k+1}-x^k)=0.</tex>
 +
Выразим отсюда <tex>x^{k+1}</tex>:
 +
{{eqno||3}}
 +
::<tex>x^{k+1}=x^k-\frac{f(x^k)}{f'(x^k)}.</tex>
 +
::
== Анализ метода и ошибок ==
== Анализ метода и ошибок ==

Версия 15:34, 18 ноября 2008

Содержание

Введение

Пусть задана функция f(x) действительного переменного. Требуется найти корни уравнения

(1)
f(x)=0.

Задача нахождения корней уравнения (1) обычно решается в 2 этапа. На первом этапе проводится отделение корней, т.е. выделение отрезков, содержащих только один корень. На втором этапе, используя начальное приближение, строится итерационный процесс, позволяющий уточнить значение отыскиваемого корня.

Изложение метода

Метод касательных (Ньютона-Рафсона)

Пусть на отрезке [a,b] существует единственный корень уравнения (1): x*

(2)
f(x*)=0,

а f'(x) существует, непрерывна и отлична от нуля на [a,b]. Перепишем (2) следующим образом:

f(x^k=(x*-x^k))=0

и применим к этому выражению формулу Лагранжа:

f(x^k)+f'(\bar{x})(x*-x^k)=0, \;\bar{x} \in [a,b].

Заменим \bar x на x^k, а x* - на x^{k+1} и получим формулу итерационного процесса:

f(x^k)+f'(x^k)(x^{k+1}-x^k)=0.

Выразим отсюда x^{k+1}:

()
x^{k+1}=x^k-\frac{f(x^k)}{f'(x^k)}.

Анализ метода и ошибок

Числовой пример

Рекомендации программисту

Заключение

Ссылки

Список литературы

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:%D0%90%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D1%80_%D0%94%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D0%BD%D0%B5%D0%B2/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BA%D0%B0%D1%81%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D1%85._%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D1%81%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%89%D0%B8%D1%85»
Личные инструменты