Участник:Александр Двойнев/песочница
Материал из MachineLearning.
| Строка 30: | Строка 30: | ||
Рассмотрим функцию <tex>f(x)= cos(x)-x+1.</tex> С помощью метода {{eqref|1}} найдем корень уравнения <tex>f(x)=0.</tex> Исходный код программы, ищущей корень уравнения методом секущих, выложен в разделе «'''Файлы'''». | Рассмотрим функцию <tex>f(x)= cos(x)-x+1.</tex> С помощью метода {{eqref|1}} найдем корень уравнения <tex>f(x)=0.</tex> Исходный код программы, ищущей корень уравнения методом секущих, выложен в разделе «'''Файлы'''». | ||
| - | Возьмём в качестве начальных приближений <tex>x^0=4, x^1=3</tex> и точность <tex>\eps=10^{-6}.</tex> В итоге за 8 итераций получим корень <tex>x* \approx 1.283429.</tex> | + | Возьмём в качестве начальных приближений <tex>x^0=4, \; x^1=3</tex> и точность <tex>\eps=10^{-6}.</tex> В итоге за 8 итераций получим корень <tex>x* \approx 1.283429.</tex> |
== Рекомендации программисту == | == Рекомендации программисту == | ||
| Строка 43: | Строка 43: | ||
В методе секущих, как и в других итерационных методах решения уравнений, ошибка округления ''не накапливается''. Общая ошибка округления равна ошибке, возникшей в последней итерации, и не зависит от арифметических операций, выполнявшихся в предыдущих итерациях. | В методе секущих, как и в других итерационных методах решения уравнений, ошибка округления ''не накапливается''. Общая ошибка округления равна ошибке, возникшей в последней итерации, и не зависит от арифметических операций, выполнявшихся в предыдущих итерациях. | ||
| - | |||
| - | |||
== Файлы == | == Файлы == | ||
Версия 14:40, 5 декабря 2008
Содержание |
Введение
Пусть задана функция действительного переменного. Требуется найти корни уравнения
Задача нахождения корней уравнения (1) обычно решается в 2 этапа. На первом этапе проводится отделение корней, то есть выделение отрезков, содержащих только один корень. На втором этапе, используя начальное приближение, строится итерационный процесс, позволяющий уточнить значение отыскиваемого корня.
Изложение метода
Метод секущих получается из метода касательных заменой разностным приближением:
В результате получим формулу итерационного процесса:
Метод секущих является двухшаговым, то есть новое приближение определяется двумя предыдущими итерациями
и
В методе (1) необходимо задавать два начальных приближения
и
Скорость сходимости метода будет линейной:
Геометрическая интерпретация
Заметим, что уравнение для секущей, проходящей через точки и
, будет выглядть так:
Положив и
можно получить формулу (1). Это означает, что
— это абсцисса точки пересечения нашей секущей с осью ОХ. Иначе говоря, на отрезке
функция
интерполируется многочленом первой степени и за очередное приближение
принимается корень этого многочлена.
Числовой пример
Рассмотрим функцию С помощью метода (1) найдем корень уравнения
Исходный код программы, ищущей корень уравнения методом секущих, выложен в разделе «Файлы».
Возьмём в качестве начальных приближений и точность
В итоге за 8 итераций получим корень
Рекомендации программисту
Критерий останова
Как правило, берут один из следующих критериев останова:
-
— значение функции на данной итерации стало меньше заданого ε.
-
— изменение хk в результате итерации стало меньше заданого ε.
Ошибки округления
В методе секущих, как и в других итерационных методах решения уравнений, ошибка округления не накапливается. Общая ошибка округления равна ошибке, возникшей в последней итерации, и не зависит от арифметических операций, выполнявшихся в предыдущих итерациях.
Файлы
Ссылки
Список литературы
- Н. В. Соснин. Численные методы. Конспект лекций (сост. Д. В. Ховратович, Е. А. Попов)
- Самаский А. А., Гулин А. В. Численные Методы. Учеб. пособие для вузов. — М.:Наука, 1989.
