Квантиль

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
м (→Определение: терминология)
(уточнение+исправление)
Строка 1: Строка 1:
{{TOCright}}
{{TOCright}}
-
<tex>\alpha</tex>-'''кванти́ль''' (или ''квантиль порядка'' <tex>\alpha</tex>) — числовая характеристика случайной величины; такое число, что данная случайная величина превышает его с вероятностью <tex>\alpha</tex>.
+
<tex>\alpha</tex>-'''кванти́ль''' (или ''квантиль порядка'' <tex>\alpha</tex>) — числовая характеристика закона распределения [[случайная_величина|случайной величины]]; такое число, что данная случайная величина попадает левее его с вероятностью, не превосходящей <tex>\alpha</tex>.
== Определение ==
== Определение ==
<tex>\alpha</tex>-'''кванти́ль'''
<tex>\alpha</tex>-'''кванти́ль'''
-
случайной величины <tex>\xi</tex> с функцией распределения
+
[[случайная_величина|случайной величины]] <tex>\xi</tex> с [[функция_распределения|функцией распределения]]
<tex>F(x) = \mathbb{P} \{ \xi < x \}</tex> — это
<tex>F(x) = \mathbb{P} \{ \xi < x \}</tex> — это
-
число <tex>x_\alpha</tex>, удовлетворяющее двум условиям:
+
любое число <tex>x_\alpha</tex>, удовлетворяющее двум условиям:
::1) <tex>F(x_\alpha) \leq \alpha</tex>;
::1) <tex>F(x_\alpha) \leq \alpha</tex>;
::2) <tex>F(x_\alpha+0) \geq \alpha</tex>.
::2) <tex>F(x_\alpha+0) \geq \alpha</tex>.
 +
 +
Заметим, что данные условия эквивалентны следующим:
 +
 +
<center><tex>\mathbb{P}(\xi<x_\alpha)\le\alpha</tex> и <tex>\mathbb{P}(\xi>x_\alpha)\le 1- \alpha</tex></center>
Если <tex>F(x)</tex> — непрерывная строго монотонная функция, то
Если <tex>F(x)</tex> — непрерывная строго монотонная функция, то
Строка 18: Строка 22:
выражается через функцию, обратную к функции распределения:
выражается через функцию, обратную к функции распределения:
::<tex>x_\alpha = F^{-1}(\alpha).</tex>
::<tex>x_\alpha = F^{-1}(\alpha).</tex>
 +
 +
Кроме указанной ситуации, когда уравнение <tex>F(x_\alpha) = \alpha</tex> имеет единственное решение (которое и дает соответствующий квантиль), возможны также две других:
 +
* если указанное уравнение ''не имеет решений'', то это означает, что существует единственная точка <tex>x_\alpha</tex>, в которой функция распределения имеет разрыв, которая удовлетворяет данному определению и является квантилью порядка <tex>\alpha</tex>. Для этой точки выполнены соотношения: <tex>\mathbb{P}(\xi<x_\alpha)<\alpha</tex> и <tex>\mathbb{P}(\xi>x_\alpha)\le 1- \alpha</tex> (первое неравенство строгое, а второе может быть как строгим, так и обращаться в равенство).
 +
* если уравнение имеет ''более одного решения'', то все его решения образуют интервал, на котором функция распределения постоянна. В качестве квантили порядка <tex>\alpha</tex> может быть взята любая точка этого интервала. Содержательные выводы, в которых участвует квантиль, от этого существенно не изменятся, поскольку вероятность попадания случайной величины <tex>\xi</tex> в данный интервал равна нулю.
При построении доверительного интервала для случайной величины <tex>\xi</tex> используется равенство
При построении доверительного интервала для случайной величины <tex>\xi</tex> используется равенство
Строка 63: Строка 71:
 +
[[Категория:Теория вероятностей]]
 +
[[Категория:Математическая статистика]]
[[Категория:Прикладная статистика]]
[[Категория:Прикладная статистика]]

Версия 11:57, 13 ноября 2009

Содержание

\alpha-кванти́ль (или квантиль порядка \alpha) — числовая характеристика закона распределения случайной величины; такое число, что данная случайная величина попадает левее его с вероятностью, не превосходящей \alpha.

Определение

\alpha-кванти́ль случайной величины \xi с функцией распределения F(x) = \mathbb{P} \{ \xi < x \} — это любое число x_\alpha, удовлетворяющее двум условиям:

1) F(x_\alpha) \leq \alpha;
2) F(x_\alpha+0) \geq \alpha.

Заметим, что данные условия эквивалентны следующим:

\mathbb{P}(\xi<x_\alpha)\le\alpha и \mathbb{P}(\xi>x_\alpha)\le 1- \alpha

Если F(x) — непрерывная строго монотонная функция, то существует единственный квантиль x_\alpha любого порядка \alpha \in (0,\,1), который однозначно определяется из уравнения F(x_\alpha) = \alpha, следовательно, выражается через функцию, обратную к функции распределения:

x_\alpha = F^{-1}(\alpha).

Кроме указанной ситуации, когда уравнение F(x_\alpha) = \alpha имеет единственное решение (которое и дает соответствующий квантиль), возможны также две других:

  • если указанное уравнение не имеет решений, то это означает, что существует единственная точка x_\alpha, в которой функция распределения имеет разрыв, которая удовлетворяет данному определению и является квантилью порядка \alpha. Для этой точки выполнены соотношения: \mathbb{P}(\xi<x_\alpha)<\alpha и \mathbb{P}(\xi>x_\alpha)\le 1- \alpha (первое неравенство строгое, а второе может быть как строгим, так и обращаться в равенство).
  • если уравнение имеет более одного решения, то все его решения образуют интервал, на котором функция распределения постоянна. В качестве квантили порядка \alpha может быть взята любая точка этого интервала. Содержательные выводы, в которых участвует квантиль, от этого существенно не изменятся, поскольку вероятность попадания случайной величины \xi в данный интервал равна нулю.

При построении доверительного интервала для случайной величины \xi используется равенство

\mathbb{P}\left\{ x_{(1-\alpha)/2} \le \xi \le x_{(1+\alpha)/2} \right\} = \alpha.

Величины, связанные с квантилями

Проценти́ль x_{p/100}, \; p=1,\ldots,99.

Дециль x_{p/10}, \; p=1,\ldots,9.

Квинтиль x_{p/5}, \; p=1,2,3,4.

Квартиль x_{p/4}, \; p=1,2,3.

Медиана x_{1/2}.

Выборочный квантиль

Пусть задана простая выборка x^m = (x_1,\ldots,x_m), и её вариационный ряд есть

x^{(1)} \leq x^{(2)} \leq \cdots \leq x^{(m)}.

Выборочный \alpha-кванти́ль или выборочный квантиль порядка \alpha, \alpha \in (0,\,1) есть статистика (функция выборки), равная элементу вариационного ряда с номером [m\alpha+1] (целая часть от m\alpha+1).

Пусть f — плотность, F — функция распределения случайной величины x. Тогда выборочные квантили 0 < \alpha_1 \leq \cdots \leq \alpha_k < 1 имеют при m \to \infty асимптотически k-мерное нормальное распределение с математическими ожиданиями, равными (не выборочным) квантилям x_{\alpha_i},\; i=1,\ldots,k и ковариациями

\frac{\alpha_i(1-\alpha_j)}{m f\left(x_{\alpha_i}\right) f\left(x_{\alpha_j}\right) },\;\; i\leq j,\;\; i,j= 1,\ldots,k.

Таким образом, выборочные квантили являются несмещёнными оценками обычных (не выборочных) квантилей.

Литература

  1. Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Под ред. Ю.В.Прохорова. — М.: Большая российская энциклопедия, 2003. — 912 с.

Ссылки

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%B8%D0%BB%D1%8C»
Личные инструменты