Квантиль

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(уточнение+исправление)
(Терминология, принятая в математической статистике)
Строка 30: Строка 30:
::<tex>\mathbb{P}\left\{ x_{(1-\alpha)/2} \le \xi \le x_{(1+\alpha)/2} \right\} = \alpha</tex>.
::<tex>\mathbb{P}\left\{ x_{(1-\alpha)/2} \le \xi \le x_{(1+\alpha)/2} \right\} = \alpha</tex>.
-
== Величины, связанные с квантилями ==
+
== Часто используемые квантили специальных видов ==
''Проценти́ль'' <tex>x_{p/100}, \; p=1,\ldots,99.</tex>
''Проценти́ль'' <tex>x_{p/100}, \; p=1,\ldots,99.</tex>
Строка 41: Строка 41:
''Медиана'' <tex>x_{1/2}.</tex>
''Медиана'' <tex>x_{1/2}.</tex>
 +
 +
== Терминология, принятая в математической статистике ==
 +
 +
В задачах математической статистики часто возникает необходимость отделить сверху, снизу или с обеих сторон области, вероятности попадания в которые малы. В связи с этим часто используется следующая терминология.
 +
 +
'''Нижняя (односторонняя) квантиль уровня''' <tex>\alpha</tex> - это то же, что и обычная квантиль порядка <tex>\alpha</tex>:
 +
<center><tex>x_\alpha^- = x_\alpha</tex>.</center>
 +
 +
'''Верхняя (односторонняя) квантиль уровня''' <tex>\alpha</tex> - это обычная квантиль порядка <tex>1-\alpha</tex>:
 +
<center><tex>x_\alpha^+ = x_{1-\alpha}</tex>.</center>
 +
 +
'''Двусторонние квантили уровня''' <tex>\alpha</tex> - это пара (нижняя+верхняя) односторонних квантилей уровня <tex>\alpha/2</tex>.
== Выборочный квантиль ==
== Выборочный квантиль ==
Строка 61: Строка 73:
::<tex>\frac{\alpha_i(1-\alpha_j)}{m f\left(x_{\alpha_i}\right) f\left(x_{\alpha_j}\right) },\;\; i\leq j,\;\; i,j= 1,\ldots,k.</tex>
::<tex>\frac{\alpha_i(1-\alpha_j)}{m f\left(x_{\alpha_i}\right) f\left(x_{\alpha_j}\right) },\;\; i\leq j,\;\; i,j= 1,\ldots,k.</tex>
-
Таким образом, выборочные квантили являются несмещёнными оценками обычных (не выборочных) квантилей.
+
Таким образом, выборочные квантили являются [[статистическое_оценивание|несмещёнными оценками]] обычных (не выборочных) квантилей.
== Литература ==
== Литература ==

Версия 12:34, 13 ноября 2009

Содержание

\alpha-кванти́ль (или квантиль порядка \alpha) — числовая характеристика закона распределения случайной величины; такое число, что данная случайная величина попадает левее его с вероятностью, не превосходящей \alpha.

Определение

\alpha-кванти́ль случайной величины \xi с функцией распределения F(x) = \mathbb{P} \{ \xi < x \} — это любое число x_\alpha, удовлетворяющее двум условиям:

1) F(x_\alpha) \leq \alpha;
2) F(x_\alpha+0) \geq \alpha.

Заметим, что данные условия эквивалентны следующим:

\mathbb{P}(\xi<x_\alpha)\le\alpha и \mathbb{P}(\xi>x_\alpha)\le 1- \alpha

Если F(x) — непрерывная строго монотонная функция, то существует единственный квантиль x_\alpha любого порядка \alpha \in (0,\,1), который однозначно определяется из уравнения F(x_\alpha) = \alpha, следовательно, выражается через функцию, обратную к функции распределения:

x_\alpha = F^{-1}(\alpha).

Кроме указанной ситуации, когда уравнение F(x_\alpha) = \alpha имеет единственное решение (которое и дает соответствующий квантиль), возможны также две других:

  • если указанное уравнение не имеет решений, то это означает, что существует единственная точка x_\alpha, в которой функция распределения имеет разрыв, которая удовлетворяет данному определению и является квантилью порядка \alpha. Для этой точки выполнены соотношения: \mathbb{P}(\xi<x_\alpha)<\alpha и \mathbb{P}(\xi>x_\alpha)\le 1- \alpha (первое неравенство строгое, а второе может быть как строгим, так и обращаться в равенство).
  • если уравнение имеет более одного решения, то все его решения образуют интервал, на котором функция распределения постоянна. В качестве квантили порядка \alpha может быть взята любая точка этого интервала. Содержательные выводы, в которых участвует квантиль, от этого существенно не изменятся, поскольку вероятность попадания случайной величины \xi в данный интервал равна нулю.

При построении доверительного интервала для случайной величины \xi используется равенство

\mathbb{P}\left\{ x_{(1-\alpha)/2} \le \xi \le x_{(1+\alpha)/2} \right\} = \alpha.

Часто используемые квантили специальных видов

Проценти́ль x_{p/100}, \; p=1,\ldots,99.

Дециль x_{p/10}, \; p=1,\ldots,9.

Квинтиль x_{p/5}, \; p=1,2,3,4.

Квартиль x_{p/4}, \; p=1,2,3.

Медиана x_{1/2}.

Терминология, принятая в математической статистике

В задачах математической статистики часто возникает необходимость отделить сверху, снизу или с обеих сторон области, вероятности попадания в которые малы. В связи с этим часто используется следующая терминология.

Нижняя (односторонняя) квантиль уровня \alpha - это то же, что и обычная квантиль порядка \alpha:

x_\alpha^- = x_\alpha.

Верхняя (односторонняя) квантиль уровня \alpha - это обычная квантиль порядка 1-\alpha:

x_\alpha^+ = x_{1-\alpha}.

Двусторонние квантили уровня \alpha - это пара (нижняя+верхняя) односторонних квантилей уровня \alpha/2.

Выборочный квантиль

Пусть задана простая выборка x^m = (x_1,\ldots,x_m), и её вариационный ряд есть

x^{(1)} \leq x^{(2)} \leq \cdots \leq x^{(m)}.

Выборочный \alpha-кванти́ль или выборочный квантиль порядка \alpha, \alpha \in (0,\,1) есть статистика (функция выборки), равная элементу вариационного ряда с номером [m\alpha+1] (целая часть от m\alpha+1).

Пусть f — плотность, F — функция распределения случайной величины x. Тогда выборочные квантили 0 < \alpha_1 \leq \cdots \leq \alpha_k < 1 имеют при m \to \infty асимптотически k-мерное нормальное распределение с математическими ожиданиями, равными (не выборочным) квантилям x_{\alpha_i},\; i=1,\ldots,k и ковариациями

\frac{\alpha_i(1-\alpha_j)}{m f\left(x_{\alpha_i}\right) f\left(x_{\alpha_j}\right) },\;\; i\leq j,\;\; i,j= 1,\ldots,k.

Таким образом, выборочные квантили являются несмещёнными оценками обычных (не выборочных) квантилей.

Литература

  1. Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Под ред. Ю.В.Прохорова. — М.: Большая российская энциклопедия, 2003. — 912 с.

Ссылки

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%B8%D0%BB%D1%8C»
Личные инструменты