Критерий Уилкоксона двухвыборочный
Материал из MachineLearning.
(дополнение, уточнение, иллюстрации) |
(уточнение) |
||
Строка 66: | Строка 66: | ||
Статистики критериев Уилкоксона и Уилкоксона-Манна-Уитни линейно связаны, поэтому, по сути, нет смысла говорить о двух различных критериях.<ref>Орлов А. И. Эконометрика. — 75 c.</ref> Оба они проверяют одну и ту же гипотезу и их границы применимости также совпадают. В то же время в литературе можно встретить рекомендации использовать критерий Уилкоксона для проверки равенства средних, когда нет предположений о дисперсиях,<ref>Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 160 с.</ref>, а в случае равных дисперсий применять [[Критерий_Уилкоксона-Манна-Уитни|U-критерий Манна-Уитни]].<ref>Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 118 с.</ref> | Статистики критериев Уилкоксона и Уилкоксона-Манна-Уитни линейно связаны, поэтому, по сути, нет смысла говорить о двух различных критериях.<ref>Орлов А. И. Эконометрика. — 75 c.</ref> Оба они проверяют одну и ту же гипотезу и их границы применимости также совпадают. В то же время в литературе можно встретить рекомендации использовать критерий Уилкоксона для проверки равенства средних, когда нет предположений о дисперсиях,<ref>Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 160 с.</ref>, а в случае равных дисперсий применять [[Критерий_Уилкоксона-Манна-Уитни|U-критерий Манна-Уитни]].<ref>Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 118 с.</ref> | ||
- | Проведём эксперимент: будем строить график [[Достигаемый уровень значимости|достигаемого уровня значимости]] как функцию размера выборок | + | Проведём эксперимент: будем строить график [[Достигаемый уровень значимости|достигаемого уровня значимости]] как функцию размера выборок и параметров распределения. Будем усреднять p-value по нескольким десяткам экспериментов. |
Общие параметры для всех экспериментов: | Общие параметры для всех экспериментов: | ||
Строка 83: | Строка 83: | ||
|Среднее первой выборки: 0. | |Среднее первой выборки: 0. | ||
- | Среднее второй выборки: -3:0.3:3. | + | Среднее второй выборки: -3:0.3:3.<ref>Запись вида <tex>\alpha\;:\;\delta\;:\;\beta</tex> на языке [[Matlab]] обозначает выборку, составленную из чисел от <tex>\alpha</tex> до <tex>\beta</tex> c шагом <tex>\delta</tex>.</ref> |
Дисперсия первой выборки: 5. | Дисперсия первой выборки: 5. |
Версия 20:56, 4 января 2010
|
Критерий Уилкоксона (Вилкоксона) двухвыборочный — непараметрический статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя выборками, взятыми из закона распределения, отличного от нормального, либо измеренными с использованием порядковой шкалы. Имеется аналог критерия Уилкоксона для связанных повторных наблюдений. Критерий является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения.
Пример задачи
Задача - сравнить две методики подготовки роженицы к родам. Сравнивается эффективность по оценке состояния новорожденного в баллах (шкала является порядковой).
Описание критерия
Заданы две выборки в противном случае следует поменять выборки местами.
Дополнительные предположения: обе выборки простые, объединённая выборка независима;
Вычисление статистики критерия:
- Построить общий вариационный ряд объединённой выборки и найти ранги всех элементов обеих выборок в общем вариационном ряду.
- Рассчитать суммы рангов, соответствующих обеим выборкам:
- Если размеры выборок совпадают (), то значение статистики будет равняется одной из сумм рангов или (любой). Если же выборки не равны, то , то есть сумме рангов, соответствующей меньшей выборке. Заметим, что статистика линейно связана со статистикой U-критерия Манна-Уитни.
Критерий (при уровне значимости ):
Против альтернативы :
- если , то нулевая гипотеза отвергается. Здесь есть -квантиль табличного распределения Уилкоксона с параметрами . [1][1]
Асимптотический критерий:
Рассмотрим нормированную и центрированную статистика Уилкоксона:
- ;
асимптотически имеет стандартное нормальное распределение. Нулевая гипотеза (против альтернативы ) отвергается, если , где есть -квантиль стандартного нормального распределения.
Приближение можно использовать, если размер хотя бы одной из выборок превышает 25. Если размеры выборок равны, то данная аппроксимация хорошо работает до .[1]
Случай совпадающих наблюдений:
При наличии связок необходимо учесть их с помощью поправки. Выражение в знаменателе необходимо заменить на следующее:
- Здесь - количество только тех связок, в которые входят ранги как одной, так и другой выборок, - их размеры. Совпадения, целиком состоящие из элементов одной и той же выборки, на величину не влияют. Наблюдения, не совпадающие с другими, рассматриваются как связки размера 1. Для элементов связок вычисляется средний ранг.
Поправка:[1]
В 1976 году Р. Иман предложил следующую аппроксимацию, обеспечивающую значительное снижение относительной ошибки для критических значений, в том числе на малых выборках. Поправка использует полусумму нормальной и стьюдентовской квантилей. Положим . Тогда:
- .
Гипотеза отвергается, если , где обозначают соответственно квантили уровня стандартного нормального распределения и распределения Стьюдента с степенью свободы.
Применение критерия
В биологических и эконометрических приложениях метод часто используется для проверки гипотезы о равенстве средних двух независимых выборок. Вообще говоря, данное использование критерия некорректно. Можно построить примеры, когда , и средние выборок не совпадают.[1] При этом надо заметить, что данный недостаток не является редкостью, о многих популярных в математической статистике критериях можно сказать, что они не позволяют проверять те гипотезы, с которыми традиционно связаны. При применении подобных критериев к анализу реальных данных необходимо тщательно взвешивать их достоинства и недостатки.[1]
Критерий является аналогом критерия t-критерия Стьюдента для независимых выборок в случае закона распределения, отличного от нормального, либо данных, измеренных с использованием порядковой шкалы. Для нормально распределённых совокупностей следует использовать более мощный t-критерий.
Критерий Уилкоксона и U-критерий Манна-Уитни
Статистики критериев Уилкоксона и Уилкоксона-Манна-Уитни линейно связаны, поэтому, по сути, нет смысла говорить о двух различных критериях.[1] Оба они проверяют одну и ту же гипотезу и их границы применимости также совпадают. В то же время в литературе можно встретить рекомендации использовать критерий Уилкоксона для проверки равенства средних, когда нет предположений о дисперсиях,[1], а в случае равных дисперсий применять U-критерий Манна-Уитни.[1]
Проведём эксперимент: будем строить график достигаемого уровня значимости как функцию размера выборок и параметров распределения. Будем усреднять p-value по нескольким десяткам экспериментов.
Общие параметры для всех экспериментов:
- Выборки генерируются независимо из нормального распределения с заданными параметрами.
- Размер выборок варьируется от 50 до 500 с шагом 50.
- Значение p-value усредняется по 50 экспериментам.
- Размер выборки откладывается по вертикальной оси, переменный параметр по горизонтальной.
Тип критерия | Параметры эксперимента | График |
---|---|---|
U-критерий Манна-Уитни | Среднее первой выборки: 0.
Среднее второй выборки: -3:0.3:3.[1] Дисперсия первой выборки: 5. Дисперсия второй выборки: 5. | |
Критерий Уилкоксона | Среднее первой выборки: 0.
Среднее второй выборки: -3:0.3:3. Дисперсия первой выборки: 5. Дисперсия второй выборки: 5. | |
U-критерий Манна-Уитни | Среднее первой выборки: 0.
Среднее второй выборки: -30:3:30. Дисперсия первой выборки: 1. Дисперсия второй выборки: 50. | |
Критерий Уилкоксона | Среднее первой выборки: 0.
Среднее второй выборки: -30:3:30. Дисперсия первой выборки: 1. Дисперсия второй выборки: 50. |
Легко видеть, что при одинаковых параметрах экспериментов графики p-value критериев Уилкоксона и Уилкоксона-Манна-Уитни практически совпадают, в том числе и в случае, когда дисперсии выборок существенно различаются.
Примечания
Литература
- Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. В двух томах. — М.: П-центр, 2003. — 204-209 с.
- Лапач С. Н. , Чубенко А. В., Бабич П. Н. Статистика в науке и бизнесе. — Киев: Морион, 2002. — 160-164 с.
- Орлов А. И. Эконометрика. — М.: Экзамен, 2003. — §4.5.
- Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 454-456 с.
Ссылки
- Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни — аналогичный критерий.
- Проверка статистических гипотез — о методологии проверки статистических гипотез.
- Критерий Уилкоксона для связных выборок — аналог критерия для случая парных повторных наблюдений.