Вариационный ряд

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(Новая: '''Вариационный ряд''' (set of order statistic) — последовательность значений заданной выборки <tex>x^m = (x_1,\ldots,x_m)</tex...)
м (переправил в формулах R на r)
Строка 5: Строка 5:
'''''k''-й порядковой статистикой''' называется ''k''-е значение в вариационном ряду <tex>x^{(k)}</tex>.
'''''k''-й порядковой статистикой''' называется ''k''-е значение в вариационном ряду <tex>x^{(k)}</tex>.
-
'''Рангом''' <tex>R_i</tex> наблюдения <tex>x_i</tex> называется его порядковый номер в вариационном ряду:
+
'''Рангом''' <tex>r_i</tex> наблюдения <tex>x_i</tex> называется его порядковый номер в вариационном ряду:
-
::<tex>x^{(R_i)} = x_i</tex>.
+
::<tex>x^{(r_i)} = x_i</tex>.
Если <tex>x^m</tex> — [[простая выборка]] и [[функция распределения]] случайной величины <tex>x</tex> непрерывна, то с вероятностью 1 вариационный ряд не содержит равных элементов (все неравенства строгие), и данное выше определение ранга корректно.
Если <tex>x^m</tex> — [[простая выборка]] и [[функция распределения]] случайной величины <tex>x</tex> непрерывна, то с вероятностью 1 вариационный ряд не содержит равных элементов (все неравенства строгие), и данное выше определение ранга корректно.
Строка 12: Строка 12:
'''Связкой''' размера <tex>t</tex> называется
'''Связкой''' размера <tex>t</tex> называется
-
подпоследовательность вариационного ряда <tex>x^{(r_1)}, \ldots, x^{(r_2)</tex>
+
подпоследовательность вариационного ряда <tex>x^{(k_1)}, \ldots, x^{(k_2)</tex>
такая, что
такая, что
-
<tex>r_2-r_1+1 = t</tex>
+
<tex>k_2-k_1+1 = t</tex>
и
и
-
::<tex>x^{(1)} \leq \cdots < \underbrace{x^{(r_1)} = \cdots = x^{(r_2)}}_t < \cdots \leq x^{(m)}.</tex>
+
::<tex>x^{(1)} \leq \cdots < \underbrace{x^{(k_1)} = \cdots = x^{(k_2)}}_t < \cdots \leq x^{(m)}.</tex>
Существует много способов обобщить определение ранга элемента на тот случай, когда в вариационном ряду имеются связки.
Существует много способов обобщить определение ранга элемента на тот случай, когда в вариационном ряду имеются связки.
Чаще всего применяется ''средний ранг''.
Чаще всего применяется ''средний ранг''.
-
'''Средним рангом''' <tex>R_i</tex> наблюдения <tex>x_i</tex> называется средний порядковый номер элементов той связки <tex>\{r_1,\ldots,r_2\}</tex>, в которую попал элемент <tex>x_i</tex>:
+
'''Средним рангом''' <tex>r_i</tex> наблюдения <tex>x_i</tex> называется средний порядковый номер элементов той связки <tex>\{k_1,\ldots,k_2\}</tex>, в которую попал элемент <tex>x_i</tex>:
-
::<tex>R_i = \frac{\sum\nolimits_{r=1}^m r [x_i = x^{(r)}]}{\sum\nolimits_{r=1}^m [x_i = x^{(r)}]} = \frac{r_1+r_2}2</tex>.
+
::<tex>r_i = \frac{\sum\nolimits_{r=1}^m r \cdot [x_i = x^{(r)}]}{\sum\nolimits_{r=1}^m [x_i = x^{(r)}]} = \frac{k_1+k_2}2</tex>.

Версия 14:58, 14 августа 2008

Вариационный ряд (set of order statistic) — последовательность значений заданной выборки x^m = (x_1,\ldots,x_m), расположенных в порядке неубывания:

x^{(1)} \leq x^{(2)} \leq \cdots \leq x^{(m)}.

k-й порядковой статистикой называется k-е значение в вариационном ряду x^{(k)}.

Рангом r_i наблюдения x_i называется его порядковый номер в вариационном ряду:

x^{(r_i)} = x_i.

Если x^m — простая выборка и функция распределения случайной величины x непрерывна, то с вероятностью 1 вариационный ряд не содержит равных элементов (все неравенства строгие), и данное выше определение ранга корректно. Если же функция распределения разрывна (в частности, если случайная величина x дискретна), то в вариационном ряду появляются связки, и значение ранга для некоторых элементов определяется неоднозначно.

Связкой размера t называется подпоследовательность вариационного ряда x^{(k_1)}, \ldots, x^{(k_2) такая, что k_2-k_1+1 = t и

x^{(1)} \leq \cdots < \underbrace{x^{(k_1)} = \cdots = x^{(k_2)}}_t < \cdots \leq x^{(m)}.

Существует много способов обобщить определение ранга элемента на тот случай, когда в вариационном ряду имеются связки. Чаще всего применяется средний ранг.

Средним рангом r_i наблюдения x_i называется средний порядковый номер элементов той связки \{k_1,\ldots,k_2\}, в которую попал элемент x_i:

r_i = \frac{\sum\nolimits_{r=1}^m r \cdot [x_i = x^{(r)}]}{\sum\nolimits_{r=1}^m [x_i = x^{(r)}]} = \frac{k_1+k_2}2.


Литература

  1. Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Под ред. Ю.В.Прохорова. — М.: Большая российская энциклопедия, 2003. — 912 с.
  2. Лапач С. Н. , Чубенко А. В., Бабич П. Н. Статистика в науке и бизнесе. — Киев: Морион, 2002.
  3. Орлов А. И. Эконометрика. — М.: Экзамен, 2003.
  4. Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. В двух томах. — М.: П-центр, 2003.

Ссылки

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%92%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D1%80%D1%8F%D0%B4»
Личные инструменты