Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни
Материал из MachineLearning.
м (уточнение) |
(уточнение) |
||
Строка 39: | Строка 39: | ||
'''Статистика критерия:''' | '''Статистика критерия:''' | ||
# Построить общий [[вариационный ряд]] объединённой выборки <tex>x^{(1)} \leq \cdots \leq x^{(m+n)}</tex> и найти ранги <tex>r(x_i),\; r(y_i)</tex> всех элементов обеих выборок в общем вариационном ряду. | # Построить общий [[вариационный ряд]] объединённой выборки <tex>x^{(1)} \leq \cdots \leq x^{(m+n)}</tex> и найти ранги <tex>r(x_i),\; r(y_i)</tex> всех элементов обеих выборок в общем вариационном ряду. | ||
- | # Вычислить | + | # Вычислить суммарные ранги обеих выборок и статистику Манна-Уитни <tex>U</tex>: |
::<tex>R_x = \sum_{i=1}^m r(x_i);\;\;\;\; U_x = mn + \frac12m(m+1) - R_x;</tex> | ::<tex>R_x = \sum_{i=1}^m r(x_i);\;\;\;\; U_x = mn + \frac12m(m+1) - R_x;</tex> | ||
::<tex>R_y = \sum_{i=1}^n r(y_i);\;\;\;\; U_y = mn + \frac12n(n+1) - R_y;</tex> | ::<tex>R_y = \sum_{i=1}^n r(y_i);\;\;\;\; U_y = mn + \frac12n(n+1) - R_y;</tex> |
Версия 21:56, 11 декабря 2009
U-критерий Манна-Уитни (Mann-Whitney U test) — непараметрический статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя выборками по признаку, измеренному в количественной шкале. U-критерий является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения.
Другие названия: критерий Манна-Уитни-Уилкоксона (Mann-Whitney-Wilcoxon, MWW), критерий суммы рангов Уилкоксона (Wilcoxon rank-sum test) или критерий Уилкоксона-Манна-Уитни (Wilcoxon-Mann-Whitney test, WMW).
Содержание |
Примеры задач
Пример 1. Первая выборка — это пациенты, которых лечили препаратом А. Вторая выборка — пациенты, которых лечили препаратом Б. Значения в выборках — это некоторая характеристика эффективности лечения (уровень метаболита в крови, температура через три дня после начала лечения, срок выздоровления, число койко-дней, и т.д.) Требуется выяснить, имеется ли значимое различие эффективности препаратов А и Б, или различия являются чисто случайными и объясняются «естественной» дисперсией выбранной характеристики.
Пример 2. Первая выборка — это поля, обработанные агротехническим методом А. Вторая выборка — поля, обработанные агротехническим методом Б. Значения в выборках — это урожайность. Требуется выяснить, является ли один из методов эффективнее другого, или различия урожайности обусловлены случайными факторами.
Пример 3. Первая выборка — это дни, когда в супермаркете проходила промо-акция типа А (красные ценники со скидкой). Вторая выборка — дни промо-акции типа Б (каждая пятая пачка бесплатно). Значения в выборках — это показатель эффективности промо-акции (объём продаж, либо выручка в рублях). Требуется выяснить, какой из типов промо-акции более эффективен.
Описание критерия
Заданы две выборки .
Дополнительные предположения:
- обе выборки простые, объединённая выборка независима;
- выборки взяты из неизвестных непрерывных распределений и соответственно.
Статистика критерия:
- Построить общий вариационный ряд объединённой выборки и найти ранги всех элементов обеих выборок в общем вариационном ряду.
- Вычислить суммарные ранги обеих выборок и статистику Манна-Уитни :
Замечание: менее рациональный способ вычисления статистик Манна-Уитни :
Критерий (при уровне значимости ):
- против альтернативы
- если , то нулевая гипотеза отвергается;
- против альтернативы
- если , то нулевая гипотеза отвергается;
- против альтернативы
- если , то нулевая гипотеза отвергается;
где есть -квантиль табличного распределения Уилкоксона-Манна-Уитни с параметрами .
Асимптотический критерий: нормированная и центрированная статистика Манна-Уитни
асимптотически имеет стандартное нормальное распределение при .
Свойства и границы применимости U-критерия
Иногда ошибочно считают, что U-критерий проверяет нулевую гипотезу однородности , то есть что две выборки взяты из одного и того же распределения. U-критерий не является состоятельным против общей альтернативы . Это означает, что гипотеза однородности будет приниматься чаще, чем она на самом деле верна. Существуют ситуации, когда гипотеза верна, а более сильная гипотеза однородности не верна [Орлов]. Для проверки однородности существуют более мощные критерии, в частности, критерий Смирнова или критерий Лемана-Розенблатта.
Иногда ошибочно считают, что U-критерий проверяет нулевую гипотезу равенства медиан в двух выборках. Существуют распределения, для которых гипотеза верна, но их медианы различны.
U-критерий можно применять для проверки гипотезы сдвига в качестве альтернативной , где — некоторая константа, отличная от нуля. При этой альтернативе U-критерий является состоятельным. Его целесообразно применять, если одним и тем же прибором проводятся две серии измерений двух значений некоторой физической величины. При этом функция распределения описывает погрешности измерения одного значения, а — другого. Однако во многих приложениях (в частности, эконометрических) нет особых оснований предполагать, что распределение второй выборки лишь сдвигается, но не меняется каким-либо иным образом.
U-критерий является непараметрическим аналогом критерия Стьюдента. Если выборки нормальные, то для проверки гипотезы сдвига предпочтительно применить более мощный критерий Стьюдента.
История
Данный метод выявления различий между выборками был предложен в 1945 году Френком Уилкоксоном. В 1947 году он был существенно переработан и расширен Манном и Уитни, по именам которых сегодня обычно и называется.
Литература
- Mann H. B., Whitney D. R. On a test of whether one of two random variables is stochastically larger than the other. // Annals of Mathematical Statistics. — 1947, №18. — Pp. 50-60.
- Wilcoxon F. Individual Comparisons by Ranking Methods. // Biometrics Bulletin 1. 1945. — Pp. 80–83.
- Орлов А. И. Эконометрика. — М.: Экзамен, 2003. — 576 с. (§4.5 Какие гипотезы можно проверять с помощью двухвыборочного критерия Вилкоксона?)
- Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.
Ссылки
- Проверка статистических гипотез — о методологии проверки статистических гипотез.
- Статистика (функция выборки)
- Критерий Стьюдента
- Mann-Whitney U (Wikipedia).
- U-критерий Манна-Уитни (Википедия).
- Таблица критических значений U-критерия Манна-Уитни
- Critical Values for the Mann-Whitney U-Test.