Участник:Василий Ломакин/Критерий Уилкоксона двухвыборочный
Материал из MachineLearning.
Строка 24: | Строка 24: | ||
Против альтернативы <tex>H_1:\; \mathbb{P} \{ x < y \} \neq 1/2</tex>: | Против альтернативы <tex>H_1:\; \mathbb{P} \{ x < y \} \neq 1/2</tex>: | ||
- | :если <tex>W \notin \left[ W_{\alpha/2},\,W_{1-\alpha/2} \right]</tex> , то нулевая гипотеза отвергается. Здесь <tex>W_{\alpha}</tex> есть <tex>\alpha</tex>-[[квантиль]] табличного распределения Уилкоксона с параметрами <tex>m,\,n</tex>. <ref>Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — ??? c.</ref> | + | :если <tex>W \notin \left[ W_{\alpha/2},\,W_{1-\alpha/2} \right]</tex> , то нулевая гипотеза отвергается. Здесь <tex>W_{\alpha}</tex> есть <tex>\alpha</tex>-[[квантиль]] табличного распределения Уилкоксона с параметрами <tex>m,\,n</tex>. <ref>Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — ??? c.</ref><ref>Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 150 с.</ref> |
'''Асимптотический критерий''': | '''Асимптотический критерий''': | ||
Строка 45: | Строка 45: | ||
В биологических и эконометрических приложениях метод часто используется для проверки гипотезы о равенстве средних двух независимых выборок. Вообще говоря, данное использование критерия некорректно. Можно построить примеры, когда <tex>\mathbb{P} \{ x<y \} = 1/2</tex>, и средние выборок не совпадают.<ref>Орлов А. И. Эконометрика. — 79 с.</ref> При этом надо заметить, что данный недостаток не является редкостью, о многих популярных в математической статистике критериях можно сказать, что они не позволяют проверять те гипотезы, с которыми традиционно связаны. При применении подобных критериев к анализу реальных данных необходимо тщательно взвешивать их достоинства и недостатки. <ref>Орлов А. И. Эконометрика. — 83 с.</ref> | В биологических и эконометрических приложениях метод часто используется для проверки гипотезы о равенстве средних двух независимых выборок. Вообще говоря, данное использование критерия некорректно. Можно построить примеры, когда <tex>\mathbb{P} \{ x<y \} = 1/2</tex>, и средние выборок не совпадают.<ref>Орлов А. И. Эконометрика. — 79 с.</ref> При этом надо заметить, что данный недостаток не является редкостью, о многих популярных в математической статистике критериях можно сказать, что они не позволяют проверять те гипотезы, с которыми традиционно связаны. При применении подобных критериев к анализу реальных данных необходимо тщательно взвешивать их достоинства и недостатки. <ref>Орлов А. И. Эконометрика. — 83 с.</ref> | ||
+ | |||
+ | {{TOCright}} | ||
+ | |||
+ | Критерий является аналогом критерия [[Критерий Стьюдента|t-критерия Стьюдента для независимых выборок]] в случае закона распределения, отличного от нормального, либо данных, измеренных с использованием порядковой шкалы. Для нормально распределённых совокупностей следует использовать более мощный t-критерий. | ||
== Критерий Вилкоксона и [[Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни|U-критерий Манна-Уитни]] == | == Критерий Вилкоксона и [[Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни|U-критерий Манна-Уитни]] == | ||
Строка 50: | Строка 54: | ||
Статистики критериев Вилкоксона и Вилкоксона-Манна-Уитни линейно связаны, поэтому, по сути, нет смысла говорить о двух различных критериях.<ref>Орлов А. И. Эконометрика. — 75 c.</ref> Оба они проверяют одну и ту же гипотезу и их границы применимости так же совпадают. В то же время в литературе можно встретить рекомендации использовать критерий Вилкоксона для проверки равенства средних, когда нет предположений о дисперсиях,<ref>Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 160 с.</ref>, а в случае равных дисперсий применять [[Критерий_Уилкоксона-Манна-Уитни|U-критерий Манна-Уитни]].<ref>Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 118 с.</ref> | Статистики критериев Вилкоксона и Вилкоксона-Манна-Уитни линейно связаны, поэтому, по сути, нет смысла говорить о двух различных критериях.<ref>Орлов А. И. Эконометрика. — 75 c.</ref> Оба они проверяют одну и ту же гипотезу и их границы применимости так же совпадают. В то же время в литературе можно встретить рекомендации использовать критерий Вилкоксона для проверки равенства средних, когда нет предположений о дисперсиях,<ref>Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 160 с.</ref>, а в случае равных дисперсий применять [[Критерий_Уилкоксона-Манна-Уитни|U-критерий Манна-Уитни]].<ref>Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 118 с.</ref> | ||
- | Проведём эксперимент: будем строить график достигаемого уровня значимости | + | Проведём эксперимент: будем строить график [[Достигаемый уровень значимости|достигаемого уровня значимости]] как функцию размера выборок и параметров распределения, усреднённого по нескольким десяткам экспериментов. |
- | <График> | + | <График p-value критерия Вилкоксона для равных дисперсий. Размер выборок 50:50:500. Выборка1 <tex>\mathbb{N}(100, 5)</tex>. Выборка2 <tex>\mathbb{N}(100+-0.3, 5)</tex>> |
== Примечания == | == Примечания == |
Версия 20:55, 24 декабря 2009
Критерий Уилкоксона (Вилкоксона) двухвыборочный — непараметрический статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя выборками, взятыми из закона распределения, отличного от нормального, либо измеренными с использованием порядковой шкалы. Имеется аналог критерия Уилкоксона для связанных повторных наблюдений. Критерий является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения.
Пример задачи
Задача - сравнить две методики подготовки роженицы к родам. Сравнивается эффективность по оценке состояния новорожденного в баллах (шкала является порядковой).
Описание критерия
Заданы две выборки в противном случае следует поменять выборки местами.
Дополнительное предположение: обе выборки простые, объединённая выборка независима;
Вычисление статистики критерия:
- Построить общий вариационный ряд объединённой выборки и найти ранги всех элементов обеих выборок в общем вариационном ряду.
- Рассчитать суммы рангов, соответствующих обеим выборкам:
- Если размеры выборок совпадают (), то значение статистики будет равняется одной из сумм рангов или (любой). Если же выборки не равны, то , то есть сумме рангов, соответствующей меньшей выборке. Заметим, что статистика линейно связана со статистикой U-критерия Манна-Уитни.
Критерий (при уровне значимости ):
Против альтернативы :
- если , то нулевая гипотеза отвергается. Здесь есть -квантиль табличного распределения Уилкоксона с параметрами . [1][2]
Асимптотический критерий:
Рассмотрим нормированную и центрированную статистика Уилкоксона:
- ;
асимптотически имеет стандартное нормальное распределение. Нулевая гипотеза (против альтернативы ) отвергается, если , где есть -квантиль стандартного нормального распределения.
Приближение можно использовать, если размер хотя бы одной из выборок превышает 25. Если размеры выборок равны, то данная аппроксимация хорошо работает до .[3]
При наличии связок необходимо учесть их с помощью поправки. Выражение в знаменателе необходимо заменить на следующее:
- где - количество только тех связок, в которые входят ранги как одной, так и другой выборок, - их размеры. Совпадения, целиком состоящие из элементов одной и той же выборки, на величину не влияют. Наблюдения, не совпадающие с другими, рассматриваются как связки размера 1.
Применение критерия
В биологических и эконометрических приложениях метод часто используется для проверки гипотезы о равенстве средних двух независимых выборок. Вообще говоря, данное использование критерия некорректно. Можно построить примеры, когда , и средние выборок не совпадают.[6] При этом надо заметить, что данный недостаток не является редкостью, о многих популярных в математической статистике критериях можно сказать, что они не позволяют проверять те гипотезы, с которыми традиционно связаны. При применении подобных критериев к анализу реальных данных необходимо тщательно взвешивать их достоинства и недостатки. [7]
|
Критерий является аналогом критерия t-критерия Стьюдента для независимых выборок в случае закона распределения, отличного от нормального, либо данных, измеренных с использованием порядковой шкалы. Для нормально распределённых совокупностей следует использовать более мощный t-критерий.
Критерий Вилкоксона и U-критерий Манна-Уитни
Статистики критериев Вилкоксона и Вилкоксона-Манна-Уитни линейно связаны, поэтому, по сути, нет смысла говорить о двух различных критериях.[8] Оба они проверяют одну и ту же гипотезу и их границы применимости так же совпадают. В то же время в литературе можно встретить рекомендации использовать критерий Вилкоксона для проверки равенства средних, когда нет предположений о дисперсиях,[9], а в случае равных дисперсий применять U-критерий Манна-Уитни.[10]
Проведём эксперимент: будем строить график достигаемого уровня значимости как функцию размера выборок и параметров распределения, усреднённого по нескольким десяткам экспериментов.
<График p-value критерия Вилкоксона для равных дисперсий. Размер выборок 50:50:500. Выборка1 . Выборка2 >
Примечания
- ↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — ??? c.
- ↑ Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 150 с.
- ↑ Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 161 с.
- ↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — 454 c.
- ↑ Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. — 206 с.
- ↑ Орлов А. И. Эконометрика. — 79 с.
- ↑ Орлов А. И. Эконометрика. — 83 с.
- ↑ Орлов А. И. Эконометрика. — 75 c.
- ↑ Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 160 с.
- ↑ Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 118 с.
Литература
- Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. В двух томах. — М.: П-центр, 2003. — 204-209 с.
- Лапач С. Н. , Чубенко А. В., Бабич П. Н. Статистика в науке и бизнесе. — Киев: Морион, 2002. — 160-164 с.
- Орлов А. И. Эконометрика. — М.: Экзамен, 2003. — 576 с.
- Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — §4.5.
Ссылки
- Проверка статистических гипотез — о методологии проверки статистических гипотез.
- Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни
- Критерий Уилкоксона для связных выборок