Критерий Уилкоксона для связных выборок
Материал из MachineLearning.
(скелет статьи) |
|||
Строка 1: | Строка 1: | ||
- | + | {{TOCright}} | |
- | + | '''Критерий Уилкоксона (Вилкоксона) для связных выборок''' (Wilcoxon signed-rank test) — [[непараметрический статистический критерий]], применяемый для оценки различий между двумя '''зависимыми''' выборками, взятыми из закона распределения, отличного от нормального, либо измеренными с использованием [[Теория измерений|порядковой шкалы]]. Критерий является [[Ранговый критерий|ранговым]], поэтому он инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения. | |
- | + | == Пример задачи == | |
- | ''' | + | Первая выборка - температура пациентов до начала лечения. Вторая - температура в точности этих же пациентов после введения лекарства. Требуется выяснить, повлияло ли применение лекарства на температуру больных. Выборки '''связные''', измерены в [[Теория измерений|порядковой шкале]]. |
== Описание критерия == | == Описание критерия == | ||
Строка 11: | Строка 11: | ||
Заданы две выборки <tex>x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R}</tex>. | Заданы две выборки <tex>x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R}</tex>. | ||
- | '''Дополнительные предположения:''' | + | '''Дополнительные предположения:''' |
- | * | + | * Обе выборки [[простая выборка|простые]]. |
- | * | + | * Выборки связные, то есть элементы <tex>x_i,\: y_i</tex> соответствуют одному и тому же объекту, но измерения сделаны в разные моменты (например, до и после обработки). |
- | '''[[Нулевая гипотеза]]''' <tex>H_0:\; </tex>. | + | '''[[Нулевая гипотеза]]''' <tex>H_0:\; \mathbb{P} \{x_i < y_i \} = 1/2</tex>. |
- | ''' | + | '''Вычисление статистики критерия:''' |
+ | # Рассчитать значения разностей пар двух выборок. Нулевые разности далее не учитываются. <tex>N</tex> - количество ненулевых разностей. | ||
+ | # Проранжировать модули разностей пар в возрастающем порядке. | ||
+ | # Приписать рангам знаки соответствующих им разностей. | ||
+ | # Рассчитать сумму <tex>R</tex> положительных рангов. | ||
- | == | + | '''Критерий''' (при [[уровень значимости|уровне значимости]] <tex>\alpha</tex>): |
+ | |||
+ | Против альтернативы <tex>H_1:\; \mathbb{P} \{ x_i < y_i \} \neq 1/2</tex>: | ||
+ | : если <tex>R</tex> больше табличного значения критерия знаковых рангов Уилкоксона <tex>T^{+}</tex><ref>Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 529 с.</ref><ref>Холлендер М., Вулф Д. Непараметрические методы статистики. — Табл. А.4.</ref> с уровнем значимости <tex>\alpha/2</tex> и числом степеней свободы <tex>N</tex>, то нулевая гипотеза отвергается. | ||
+ | |||
+ | '''Асимптотический критерий:''' | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим нормированную и центрированную статистика Уилкоксона: | ||
+ | |||
+ | :<tex>\tilde T = \frac{R - \frac{N(N+1)}{4}}{\sqrt{\frac{N(N+1)(2N+1)}{24}}}</tex>; | ||
+ | |||
+ | <tex>\tilde T</tex> асимптотически имеет стандартное нормальное распределение. Нулевая гипотеза (против альтернативы <tex>H_1</tex>) отвергается, если <tex> \tilde T \ge \Phi_{1-\alpha/2} </tex>, где <tex>\Phi_{1-\alpha}</tex> есть <tex>(1-\alpha)</tex>-[[квантиль]] стандартного нормального распределения. | ||
+ | |||
+ | Аппроксимация начинает работать при <tex>N \ge 15</tex>.<ref>Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. — 223 с.</ref> | ||
+ | |||
+ | '''Поправка:<ref>Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. — 223 с.</ref>''' | ||
+ | |||
+ | В 1974 году Р. Иман предложил следующую аппроксимацию, обеспечивающую значительное снижение относительной ошибки для критических значений. Она использует линейную комбинацию нормальной и стьюдентовской квантилей. Положим: | ||
+ | |||
+ | <tex>\tilde T ^{*} = \frac12 \tilde T \left[ 1 + \sqrt{(n-1)(n - (\tilde T)^2)} \right]</tex>. | ||
+ | |||
+ | Гипотеза <tex>H_0</tex> отвергается, если <tex>\tilde T ^{*} \ge (x_{1-\alpha}+y_{1-\alpha})/2</tex>, где <tex>x_{1-\alpha},\; y_{1-\alpha}</tex> обозначают соответственно квантили уровня <tex>1-\alpha</tex> стандартного нормального распределения и распределения Стьюдента с <tex>n-1</tex> степенью свободы. | ||
+ | |||
+ | '''Случай совпадающих наблюдений:''' | ||
+ | |||
+ | При наличии связок необходимо учесть их с помощью поправки. Выражение в знаменателе нормированной и центрированной статистики Уилкоксона необходимо заменить на следующее: | ||
+ | |||
+ | :<tex>\left{ \frac{N(N+1)(2N+1) - \frac{\sum_{j=1}^{g}{t_j(t_j-1)(t_j+1)}}{2}}{24} \right}^{1/2},</tex><ref>Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 156 с.</ref> | ||
+ | |||
+ | :где <tex>g</tex> - количество связок, <tex>t_1, \ldots, t_g</tex> - их размеры. Для элементов связок вычисляется средний ранг. | ||
+ | |||
+ | '''Другие гипотезы:''' | ||
+ | |||
+ | <tex>H_0:\; </tex> средняя разница между значениями пар двух выборок равна заданной константе A. | ||
+ | |||
+ | <tex>H_1:\; </tex> средняя разница не равна A. | ||
+ | |||
+ | В этом случае из каждой разности вычитается значение A, и дальнейшая обработка выполняется по описанной схеме. | ||
+ | |||
+ | == Применение критерия == | ||
+ | Метод часто используется для сравнения показателей выборки до и после эксперимента, в частности для проверки гипотезы о равенстве медиан в двух зависимых выборках. Вообще говоря, можно строить примеры, когда медианы выборок различны, а гипотеза <tex>H_0</tex> верна, поэтому применять критерий для проверки такой гипотезы следует с осторожностью. Аналогичными недостатками (в своей области применения) обладают [[Критерий Уилкоксона двухвыборочный|двухвыборочный критерий Вилкоксона]] и [[Критерий_Уилкоксона-Манна-Уитни|U-критерий Манна-Уитни]].<ref>Орлов А. И. Эконометрика. — §4.5.</ref> | ||
+ | |||
+ | Критерий является аналогом [[Критерий Стьюдента|t-критерия Стьюдента для связанных выборок]] в случае распределения, отличного от нормального, либо данных, измеренных в количественной шкале. К нормально распределённым совокупностям следует применять более мощный t-критерий. | ||
== История == | == История == | ||
+ | Данный критерий назван именем Френка Уилкоксона (1892-1965). Статья, выпущенная им в 1945 году, содержала также описание [[Критерий_Уилкоксона_двухвыборочный|аналогичного метода]] для случая независимых выборок. | ||
+ | |||
+ | == Примечания == | ||
+ | <references/> | ||
== Литература == | == Литература == | ||
+ | # ''Лапач С. Н., Чубенко А. В., Бабич П. Н.'' Статистика в науке и бизнесе. — Киев: Морион, 2002. — 164-166 с. | ||
+ | # ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 457-458 с. | ||
+ | # ''Орлов А. И.'' Эконометрика. — М.: Экзамен, 2003. — §4.5. | ||
# ''Лагутин М. Б.'' Наглядная математическая статистика. В двух томах. — М.: П-центр, 2003. — 222-227 с. | # ''Лагутин М. Б.'' Наглядная математическая статистика. В двух томах. — М.: П-центр, 2003. — 222-227 с. | ||
- | + | # ''Холлендер М., Вулф Д.'' Непараметрические методы статистики. — М.: Финансы и статистика, 1983. | |
== Ссылки == | == Ссылки == | ||
* [[Проверка статистических гипотез]] — о методологии проверки статистических гипотез. | * [[Проверка статистических гипотез]] — о методологии проверки статистических гипотез. | ||
- | * [[ | + | * [[Критерий Уилкоксона двухвыборочный]] |
- | + | * [http://en.wikipedia.org/wiki/Wilcoxon_signed-rank_test Wilcoxon signed-rank test] (Wikipedia). | |
- | [ | + | |
- | + | ||
- | + | ||
- | + |
Версия 23:10, 24 декабря 2009
|
Критерий Уилкоксона (Вилкоксона) для связных выборок (Wilcoxon signed-rank test) — непараметрический статистический критерий, применяемый для оценки различий между двумя зависимыми выборками, взятыми из закона распределения, отличного от нормального, либо измеренными с использованием порядковой шкалы. Критерий является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения.
Пример задачи
Первая выборка - температура пациентов до начала лечения. Вторая - температура в точности этих же пациентов после введения лекарства. Требуется выяснить, повлияло ли применение лекарства на температуру больных. Выборки связные, измерены в порядковой шкале.
Описание критерия
Заданы две выборки .
Дополнительные предположения:
- Обе выборки простые.
- Выборки связные, то есть элементы соответствуют одному и тому же объекту, но измерения сделаны в разные моменты (например, до и после обработки).
Вычисление статистики критерия:
- Рассчитать значения разностей пар двух выборок. Нулевые разности далее не учитываются. - количество ненулевых разностей.
- Проранжировать модули разностей пар в возрастающем порядке.
- Приписать рангам знаки соответствующих им разностей.
- Рассчитать сумму положительных рангов.
Критерий (при уровне значимости ):
Против альтернативы :
- если больше табличного значения критерия знаковых рангов Уилкоксона [1][1] с уровнем значимости и числом степеней свободы , то нулевая гипотеза отвергается.
Асимптотический критерий:
Рассмотрим нормированную и центрированную статистика Уилкоксона:
- ;
асимптотически имеет стандартное нормальное распределение. Нулевая гипотеза (против альтернативы ) отвергается, если , где есть -квантиль стандартного нормального распределения.
Аппроксимация начинает работать при .[1]
Поправка:[1]
В 1974 году Р. Иман предложил следующую аппроксимацию, обеспечивающую значительное снижение относительной ошибки для критических значений. Она использует линейную комбинацию нормальной и стьюдентовской квантилей. Положим:
.
Гипотеза отвергается, если , где обозначают соответственно квантили уровня стандартного нормального распределения и распределения Стьюдента с степенью свободы.
Случай совпадающих наблюдений:
При наличии связок необходимо учесть их с помощью поправки. Выражение в знаменателе нормированной и центрированной статистики Уилкоксона необходимо заменить на следующее:
- где - количество связок, - их размеры. Для элементов связок вычисляется средний ранг.
Другие гипотезы:
средняя разница между значениями пар двух выборок равна заданной константе A.
средняя разница не равна A.
В этом случае из каждой разности вычитается значение A, и дальнейшая обработка выполняется по описанной схеме.
Применение критерия
Метод часто используется для сравнения показателей выборки до и после эксперимента, в частности для проверки гипотезы о равенстве медиан в двух зависимых выборках. Вообще говоря, можно строить примеры, когда медианы выборок различны, а гипотеза верна, поэтому применять критерий для проверки такой гипотезы следует с осторожностью. Аналогичными недостатками (в своей области применения) обладают двухвыборочный критерий Вилкоксона и U-критерий Манна-Уитни.[1]
Критерий является аналогом t-критерия Стьюдента для связанных выборок в случае распределения, отличного от нормального, либо данных, измеренных в количественной шкале. К нормально распределённым совокупностям следует применять более мощный t-критерий.
История
Данный критерий назван именем Френка Уилкоксона (1892-1965). Статья, выпущенная им в 1945 году, содержала также описание аналогичного метода для случая независимых выборок.
Примечания
Литература
- Лапач С. Н., Чубенко А. В., Бабич П. Н. Статистика в науке и бизнесе. — Киев: Морион, 2002. — 164-166 с.
- Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 457-458 с.
- Орлов А. И. Эконометрика. — М.: Экзамен, 2003. — §4.5.
- Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. В двух томах. — М.: П-центр, 2003. — 222-227 с.
- Холлендер М., Вулф Д. Непараметрические методы статистики. — М.: Финансы и статистика, 1983.
Ссылки
- Проверка статистических гипотез — о методологии проверки статистических гипотез.
- Критерий Уилкоксона двухвыборочный
- Wilcoxon signed-rank test (Wikipedia).