Критерий Мак-Нимара

Материал из MachineLearning.

Критерий Мак-Нимара (также, К. Мак-Немара, англ. McNemar's test) используется для анализа таблиц сопряженности размером 2x2 (для дихотомического признака). В отличие от критерия хи-квадрат, критерий Мак-Немара применяется, когда условие независимости наблюдений не выполняется, но, напротив, учет признака выполняется на одних и тех же субъектах.

Содержание 1 Определение 2 Пример 3 Реализации 4 Ссылки

Определение

Рассмотрим n субъектов, для каждого из которых было проведено 2 теста:

	Тест 2 положительный	Тест 2 отрицательный	Сумма в строке
Тест 1 положительный	a	b	a + b
Тест 1 отрицательный	c	d	c + d
Сумма в столбце	a + c	b + d	n

Нулевая гипотеза утверждает, что маргинальные распределения для всех исходов совпадают:

,

.

Заметим, что корректность этих равенств не зависит от и . После сокращения, получаем оригинальную формулировку нулевой и альтернативной гипотез:

,

.

Оригинальная форма статистического критерия Мак-Немара такова:

.

Применение коррекции Йейтса для повышения качества качества критерия на выборках с низкочастотными событиями приводит к следующей формуле:

.

На практике (например, по умолчанию в функции mcnemar.test в R), однако, обычно применяется коррекция Эдвардса:

.

При условии выполнения нулевой гипотезы для достаточно больших выборок (b + c > 25) статистика имеет распределение хи-квадрат с одной степенью свободы. Для маленьких выборок (b + c <= 25) применяют точный критерий Мак-Немара, который является критерием знаков для b относительно биномиального распределения с параметрами n = b + c, p = 1/2.

Пример

В системе R:

> d <- matrix(c(37, 7, 15, 26), 2, 2)
> mcnemar.test(d)

	McNemar's Chi-squared test with continuity correction

data:  d
McNemar's chi-squared = 2.2273, df = 1, p-value = 0.1356

> mcnemar.test(d, correct=F)

	McNemar's Chi-squared test

data:  d
McNemar's chi-squared = 2.9091, df = 1, p-value = 0.08808

> mcnemar.exact(d)

	Exact McNemar test (with central confidence intervals)

data:  d
b = 15, c = 7, p-value = 0.1338
alternative hypothesis: true odds ratio is not equal to 1
95 percent confidence interval:
 0.8224084 6.2125863
sample estimates:
odds ratio 
  2.142857 

Реализации

• MATLAB: встроенной реализации нет, есть реализации на File Exchange.
• R: функция mcnemar.test в стандартном пакете stats и mcnemar.exact в пакете exact2x2.
• Python: Библиотека statsmodels.

Ссылки

• EnWiki: McNemar's test
• McNemar, Quinn (June 18, 1947). "Note on the sampling error of the difference between correlated proportions or percentages". Psychometrika 12 (2): 153–157.
• Yates, F (1934). "Contingency table involving small numbers and the χ2 test". Supplement to the Journal of the Royal Statistical Society 1(2), 217–235.
• Edwards, A (1948). "Note on the "correction for continuity" in testing the significance of the difference between correlated proportions". Psychometrika 13: 185–187.
• Fay, Michael P. "Exact McNemar’s Test and Matching Confidence Intervals". (2011).