Таблица сопряженности

Материал из MachineLearning.

Содержание

1 Описание таблиц сопряженности
2 Критерий "хи-квадрат" для анализа таблиц сопряженности
- 2.1 Условие применимости
- 2.2 Частный случай K=L=2
  - 2.2.1 Примеры задач
3 Литература

Описание таблиц сопряженности

Таблица сопряженности - средство представления совместного распределения двух переменных, предназначенное для исследования связи между ними. Таблица сопряженности является наиболее универсальным средством изучения статистических связей, так как в ней могут быть представлены переменные с любым уровнем измерения.

Строки таблицы сопряженности соответствуют значениям одной переменной, столбцы - значениям другой переменной (количественные шкалы предварительно должны быть сгруппированы в интервалы). На пересечении строки и столбца указывается частота совместного появления f_ij соответствующих значений двух признаков x_i и y_j. Сумма частот по строке f_i называется маргинальной частотой строки; сумма частот по столбцу f_j - маргинальной частотой столбца. Сумма маргинальных частот равна объему выборки n; их распределение представляет собой одномерное распределение переменной, образующей строки или столбцы таблицы.

В таблицах сопряженности могут быть представлены как абсолютные, так и относительные частоты (в долях или процентах). Относительные частоты могут рассчитываться по отношению:

к маргинальной частоте по строке
к маргинальной частоте по столбцу
к объему выборки

Таблицы сопряженности используются для проверки гипотезы о наличии связи между двумя признаками ( Статистическая связь, Критерий "хи-квадрат" ), а также для измерения тесноты связи ( Коэффициент фи, Коэффициент контингенции, Коэффициент Крамера)

Критерий "хи-квадрат" для анализа таблиц сопряженности

Гипотеза H₀: переменные x и y независимы. Пусть имеется таблица сопряженности KxL, построенная для переменных x и y:

	1	...	j	...	L
1
...
i			n_ij
...
K

Введем следующие обозначения:
$n_{ij}=\sum_{(x,y)}[x=i][y=j]$
$n_{i}=\sum_{j}n_{ij}$
$n_{j}=\sum_{i}n_{ij}$
$n=\sum_{i}\sum_{j}n_{ij}$
$\frac{n_{ij}}{n}$ - наблюдаемая частота (i,j)
$E_{ij}=\frac{n_{i}n_{j}}{n}$ - ожидаемая частота при H₀
Статистика $X^{2}=\sum_{(i,j)}\frac{(n_{ij}-\frac{n_{i}n_{j}}{n})^{2}}{\frac{n_{i}n_{j}}{n}}=n(\sum_{i=1}^{K}\sum_{j=1}^{L}\frac{n_{ij}^{2}}{n_{i}n_{j}}-1)\sim\chi_{KL-(K-1)-(L-1)-1}^{2}=\chi_{(K-1)(L-1)}^{2}$