Статистические свойства МНК-оценок коэффициентов регрессии

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Для того, чтобы МНК-оценки коэффициентов многомерной регрессии обладали полезными статистическими свойствами необходимо выполнение ряда предпосылок относительно оцениваемой регрессионной модели, называемых Основными Положениями.

Содержание

Основные Положения

  • ОП.0 Y = X\theta + \varepsilon (модель линейна по параметрам);
  • ОП.1 X - детерминированная n\times k матрица, rkX = k (признаки линейно независимы);
  • ОП.2 Регрессионные остатки \varepsilon_i = y_i - \hat y_i = y_i - \sum\limits_{j=1}^k\theta_j x_{ij}, \; i=\overline{1,n}
2.1. одинаково распределены;
2.2. E\varepsilon_i = 0 (модель несмещенная);
2.3. D\varepsilon_i = \sigma^2 (гомоскедастичность);
2.4. E\varepsilon_i\varepsilon_j = 0, \; i\neq j (некореллированность).
  • Дополнительное Предположение 3 (ДП3): \; \; \varepsilon \sim N(0,\sigma^2I_n),
т.е вектор регрессионных остатков \varepsilon - нормально распределенный случайный вектор со средним 0 и матрицей ковариации \sigma^2I_n (I_n - единичная матрица размера n\times n). В этом случаем модель называется нормальной линейной регрессионной моделью.

Свойства МНК-оценок без предположения о нормальности

Теорема Гаусса-Маркова. Пусть выполнены основные положения 0-2. Тогда оценка \hat\theta, полученная по методу наименьших квадратов является эффективной в классе линейных (вида \hat\theta=Ay) несмещенных оценок (Best Linear Unbiased Estimator, BLUE).

Исходя из этой теоремы можно выделить несколько основных свойств МНК-оценки \hat\theta:

  • Линейность:
\hat\theta = Ay, где A = (X^TX)^{-1}X^T;
  • Несмещенность:
E\hat\theta = E((X^TX)^{-1}X^Ty) = (X^TX)^{-1}X^TEy = (X^TX)^{-1}X^TE(X\theta+\varepsilon) = (X^TX)^{-1}X^TX\theta + (X^TX)^{-1}X^TE\varepsilon = \theta;
  • Матрица ковариации равна:
cov\hat\theta = ||cov(\hat\theta_i,\hat\theta_j)||_{i=1,\cdots,k}^{j=1,\cdots,k} = \sigma^2(X^TX)^{-1}.
  • МНК-оценка \hat\theta эффективна.

Итак, теорема Гаусса-Маркова утверждает, что любая другая линейная несмещенная оценка будет иметь большую дисперсию, чем МНК-оценка:


Нетрудно показать, что для любого вектора \; c\in R^k \; оценка \; c^T\hat\theta \; будет обладать теми же свойствами, что и МНК-оценка \hat\theta. Поэтому:

  • если взять c = (0\cdots 01\limits_j0\cdots0), то получим что
c^T\hat\theta = \hat\theta_j - несмещенная, эффективная оценка \theta_j;
  • если c = (x_{i1},\cdots,x_{ik}), то
c^T\hat\theta = \hat y_i - несмещенная, эффективная оценка y(x_i)_k.


Свойства МНК-оценок с предположением о нормальности

Пусть теперь к тому же выполнено ДП3, т.е. \varepsilon - многомерная нормально распределенная случайная величина, или, что то же самое y_i имеют совместное нормальное распределение. Тогда к перечисленным выше свойствам добавятся следующие:

  • МНК-оценка коэффициентов регрессии \hat\theta имеет нормальное распределение:
\hat\theta \sim N(\theta, \sigma^2(X^TX)^{-1});
  • Несмещенная оценка для дисперсии шума \sigma^2 имеет вид:
\hat\sigma^2 = \frac{RSS}{n-k},
где RSS есть остаточная сумма квадратов;
  • Случайная величина
\frac{RSS}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-k}
распределена по закону хи-квадрат с n-k степенями свободы;
  • Оценки \hat\theta и s^2 линейно независимы. Откуда получается, что величина
\frac{\hat\theta-\theta}{\hat\sigma\sqrt{(X^TX)^{-1}}} \sim t_{n-k}
имеет распределение Стьюдента с n-k степенями свободы.

Литература

  1. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006.
  2. Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. Начальный курс: Учеб. — 7-е изд., испр. — М.: Дело, 2005.

См. также

Ссылки

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A1%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D1%81%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%9C%D0%9D%D0%9A-%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BE%D0%BA_%D0%BA%D0%BE%D1%8D%D1%84%D1%84%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2_%D1%80%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B8»
Личные инструменты