Квантиль

Материал из MachineLearning.

Версия от 13:15, 14 августа 2008; Vokov (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Содержание

1 Определение
2 Величины, связанные с квантилями
3 Выборочная квантиль
4 Литература
5 Ссылки

$\alpha$ -кванти́ль (или квантиль порядка $\alpha$ ) — числовая характеристика случайной величины; такое число, что данная случайная величина превышает его с вероятностью $\alpha$ .

Определение

$\alpha$ -кванти́ль случайной величины $\xi$ с функцией распределения $F(x) = \mathbb{P} \{ \xi < x \}$ — это число $x_\alpha$ , удовлетворяющее двум условиям:

1) $F(x_\alpha) \leq \alpha$ ;

2) $F(x_\alpha+0) \geq \alpha$ .

Если $F(x)$ — непрерывная строго монотонная функция, то существует единственная кванитль $x_\alpha$ любого порядка $\alpha \in (0,\,1)$ , которая однозначно определяется из уравнения $F(x_\alpha) = \alpha$ , следовательно, выражается через функцию, обратную к функции распределения:

$x_\alpha = F^{-1}(\alpha).$

При построении доверительного интервала для случайной величины $\xi$ используется равенство

$\mathbb{P}\left\{ x_{(1-\alpha)/2} \le \xi \le x_{(1+\alpha)/2} \right\} = \alpha$ .

Величины, связанные с квантилями

Проценти́ль $x_{p/100}, \; p=1,\ldots,99.$

Дециль $x_{p/10}, \; p=1,\ldots,9.$

Квинтиль $x_{p/5}, \; p=1,2,3,4.$

Квартиль $x_{p/4}, \; p=1,2,3.$

Медиана $x_{1/2}.$

Выборочная квантиль

Пусть задана простая выборка $x^m = (x_1,\ldots,x_m)$ , и её вариационный ряд есть

$x^{(1)} \leq x^{(2)} \leq \cdots \leq x^{(m)}.$

Выборочная $\alpha$ -кванти́ль при $0 < \alpha < 1$ есть элемент вариационного ряда с номером $[m\alpha+1]$ (целая часть от $m\alpha+1$ ).

Пусть $f$ — плотность, $F$ — функция распределения случайной величины $x$ . Тогда выборочные квантили $0 < \alpha_1 \leq \cdots \leq \alpha_k < 1$ имеют при $m \to \infty$ асимптотически k-мерное нормальное распределение с математическими ожиданиями, равными (не выборочным) квантилям $x_{\alpha_i},\; i=1,\ldots,k$ и ковариациями