Прикладная алгебра (курс лекций, С.И. Гуров)

Материал из MachineLearning.

Обзорный курс для студентов 3-го потока ВМК МГУ по основам алгебры (группы, кольца, поля, частично-упорядоченные множества) и её приложениям в кодировании и комбинаторике.

Лектор: Гуров Сергей Исаевич

Ассистент: Кропотов Д.А.

Свои вопросы по курсу и пожелания можно направлять письмом по адресу bayesml@gmail.com, в название письма просьба добавлять [ПА14]

В осеннем семестре 2014/2015 уч. г. занятия проходят на ВМК по понедельникам в ауд. П8, начало в 14-35.

Новости

• 22.12.14 Выложены список вопросов к экзамену, теоретический минимум и список задач по теории Пойя.
• 20.12.14 В понедельник 22 декабря состоится последнее до экзамена переписывание контрольной работы, ауд. П-8а, начало в 14-35.
• 08.12.14 Показ работ по результатам переписывания контрольной 02.12. пройдет в пятницу, 12 декабря, в ауд. 637, начало в 14-35.
• 08.12.14 Выложены результаты переписывания контрольной работы 02.12.
• 26.11.14 Переписывание контрольной работы состоится во вторник, 2 декабря, в ауд. П-1, начало в 18-05.
• 22.11.14 Выложены результаты контрольной работы 10.11.
• 18.11.14 Консультация по решению задач контрольной, а также показ незачётных работ пройдёт во вторник, 25 ноября, в ауд. П-1, начало в 18-05.

Контрольная работа

В программе курса предусмотрена письменная контрольная работа. Успешное написание контрольной работы является обязательным условием допуска к экзамену по курсу. При отсутствии допуска студент пишет контрольную работу на экзамене и, в случае успеха, сдает экзамен на первой пересдаче. При написании контрольной работы разрешается пользоваться любыми бумажными материалами, а также калькуляторами. Использование электронных устройств (кроме калькуляторов) запрещено.

Задачи для подготовки к контрольной

Результаты контрольной

Экзамен

К экзамену допускаются только студенты, успешно написавшие контрольную работу. На экзамене при подготовке билета разрешается пользоваться любыми материалами (в том числе с электронных устройств). При ответе экзаменатору ничем пользоваться нельзя. Просьба обратить особое внимание на теоретический минимум. Незнание ответа на любой из вопросов теоретического минимума влечёт за собой неудовлетворительную оценку по экзамену.

Вопросы к экзамену

Теоретический минимум

Задачи по теории Пойя

Материалы

Группы, кольца (напоминание) (обновлено 09.12.)

Конечные поля (часть 1) (обновлено 09.12.)

Конечные поля (часть 2) (обновлено 09.12.)

Коды, исправляющие ошибки (обновлено 09.12.)

Теория перечисления Пойя

Частично упорядоченные множества

Алгебраические решётки

Программа курса

Конечные поля (поля Галуа)

1. Группы и кольца (напоминание)
2. Поле вычетов по модулю простого числа
3. Вычисление элементов в конечных полях
4. Линейная алгебра над конечным полем
5. Корни многочленов над конечным полем
6. Существование и единственность поля Галуа из элементов
7. Циклические подпространства
8. Решение задач

Коды, исправляющие ошибки

1. Помехоустойчивое кодирование, блоковое кодирование, коды Хэмминга
2. Групповые (линейные) коды
3. Циклические коды
4. Коды БЧХ
5. Решение задач

Теория перечисления Пойя

1. Действие группы на множестве
2. Применение леммы Бернсайда для решения комбинаторных задач
3. Применение теоремы Пойя для решения комбинаторных задач

Некоторые вопросы теории частично упорядоченных множеств

1. Основные понятия теории ч.у. множеств
2. Операции над ч.у. множествами
3. Линеаризация
4. Модели Крипке
5. Решение задач

Алгебраические решётки

1. Решётки: определения, основные свойства
2. Модулярные и дистрибутивные решётки
3. Применение теории решёток к задаче классификации

Литература

1. Воронин В.П. Дополнительные главы дискретной математики, ф-т ВМК, 2002.
2. Гуров С.И. Булевы алгебры, упорядоченные множества, решетки: определения, свойства, примеры. Либроком, 2013.
3. Журавлев Ю.И., Флеров Ю.А., Вялый М.Н. Дискретный анализ. Основы высшей алгебры. М3-Пресс, 2007.
4. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: в 2-х т. Мир, 1988.
5. Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики, МАИ, 1992.
6. Ромащенко А.Е., Румянцев А.Ю., Шень А. Заметки по теории кодирования. МЦНМО, 2011.
7. Lin S., Costello D. Error Control Coding Fundamentals and Applications. Prentice-Hall, 1983.

См. также

Страница кафедры математических методов прогнозирования ВМК МГУ

Курс «Прикладная алгебра» для студентов ММП