Квантиль
Материал из MachineLearning.
-кванти́ль (или квантиль порядка ) — числовая характеристика закона распределения случайной величины; такое число, что данная случайная величина попадает левее его с вероятностью, не превосходящей .
Определение
-кванти́ль случайной величины с функцией распределения — это любое число , удовлетворяющее двум условиям:
- 1) ;
- 2) .
Заметим, что данные условия эквивалентны следующим:
Если — непрерывная строго монотонная функция, то существует единственный квантиль любого порядка , который однозначно определяется из уравнения , следовательно, выражается через функцию, обратную к функции распределения:
Кроме указанной ситуации, когда уравнение имеет единственное решение (которое и дает соответствующий квантиль), возможны также две других:
- если указанное уравнение не имеет решений, то это означает, что существует единственная точка , в которой функция распределения имеет разрыв, которая удовлетворяет данному определению и является квантилью порядка . Для этой точки выполнены соотношения: и (первое неравенство строгое, а второе может быть как строгим, так и обращаться в равенство).
- если уравнение имеет более одного решения, то все его решения образуют интервал, на котором функция распределения постоянна. В качестве квантили порядка может быть взята любая точка этого интервала. Содержательные выводы, в которых участвует квантиль, от этого существенно не изменятся, поскольку вероятность попадания случайной величины в данный интервал равна нулю.
Часто используемые квантили специальных видов
Проценти́ль
Дециль
Квинтиль
Квартиль
Медиана
Терминология, принятая в математической статистике
В задачах математической статистики часто возникает необходимость отделить сверху, снизу или с обеих сторон области, вероятности попадания в которые малы. В связи с этим часто используется следующая терминология.
Нижняя (односторонняя) квантиль уровня - это то же, что и обычная квантиль порядка :
Верхняя (односторонняя) квантиль уровня - это обычная квантиль порядка :
Двусторонние квантили уровня - это пара (нижняя+верхняя) односторонних квантилей уровня . Двусторонние квантили задают интервал, в который рассматриваемая случайная величина попадает с заданной вероятностью:
Применение квантилей в задачах проверки статистических гипотез
Применение квантилей в задачах оценивания параметров
Выборочные квантили; статистическая оценка квантилей
Пусть задана простая выборка , и её вариационный ряд есть
Выборочный -кванти́ль или выборочный квантиль порядка , есть статистика (функция выборки), равная элементу вариационного ряда с номером (целая часть от ).
Пусть — плотность, — функция распределения случайной величины . Тогда выборочные квантили имеют при асимптотически k-мерное нормальное распределение с математическими ожиданиями, равными (не выборочным) квантилям и ковариациями
Таким образом, выборочные квантили являются несмещёнными оценками обычных (не выборочных) квантилей.
Литература
- Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Под ред. Ю.В.Прохорова. — М.: Большая российская энциклопедия, 2003. — 912 с.
Ссылки
- Quantile, Percentile, Decile — статьи в англоязычной Википедии.
- Квантиль — статья в русской Википедии.