Математические методы прогнозирования/Осень 2022

Материал из MachineLearning.

Версия от 01:09, 1 ноября 2022; Strijov (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Перейти к: навигация, поиск

Each tuesday 16:10 at the channel m1p.org/go_zoom

Основная статья: Численные методы обучения по прецедентам (практика, В.В. Стрижов)

Содержание

1 Mathematical forecasting

Ведущие Алина Самохина, Денис Тихонов, Святослав Панченко

Короткая ссылка bit.ly/3QAOYPd

Mathematical forecasting

This course delivers methods of model selection in machine learning and forecasting. The modelling data are videos, audios, encephalograms, fMRIs and another measurements in natural science. The models are linear, tensor, deep neural networks, and neural ODEs. The practical examples are brain-computer interfaces, weather forecasting and various spatial-time series forecasting. The lab works are organised as paper-with-code reports.

Schedule

[Sep] 6-s1, 13-s2, 20-s3, 27-s4 – lab 1
[Oct] 4, 14, 18, 25 – lab 2, 3
[Nov] 8, 15, 22, 29 – lab 4
[Dec] 6, 13 exam

playlist 2022-2023 2021-2022

Discussion and course page

Lab works

Lab work contains report in the notebook and talk with discussion

Title and motivated abstract
Problem statement
Model, problem solution
Code, analysis and illustrative plots
References

Note: the model (and sometimes data) are personal. The rest – infrastructure, error functions, plots, are welcome to be created collectively and shared.

Topics of the lab works are

Autoregressive forecasting (Singular Structure Analysis)
Spatial-time forecasting (Tensor Decomposition)
Signal decoding (Projection to Latent Space)
Continuous-time forecasting (Neural Differential Equations)

Exam and grading

Four lab works within deadlines and the exam on topics with problems and discussion.

Each lab gives 2.5pt, all_labs = 10

The exam gives 10pt, final mark=(all_labs + exam) / 2

Terminology and list of notations

See PhD thesis by Roman Isachenko See also

Tensor terminology in the PhD thesis by Anastasia Motrenko
Model selection terminology in the PhD theses by Oleg Bakhteev and by Andery Grabovoy

Lecture topics

Energy forecasting example
Regression
Linear model
Model selection call
Forecasting protocol
Error functions
Singular spectrum analysis
SSA forecasting
Forecasting protocols and verification (before AR)
Autoregression
Singular values decomposition (PCA, AE, Kar-Lo)
QPFS model selection
Auto, cross-correlation, cointegration
Diagrams for ML and PLS
Projection to latent space and relation to PCA, canonical-correlation analysis
PLS-QPFS model selection
Higher-order SSA
Tensor decomposition
Tensor model selection
HOPLS
Granger causality test
Convergent cross mapping
HOCCM to invent
Taken’s theorem
ResNet, Neural ODE
Adjoint and back-propagation
Flows and forecasting
Space state models
S4, Hippo, SaShiMi models
(if room) Neural PDE, Lagrangian, Hamiltonian nns.

\\ To include

RNN, LSTM, attention, transformer models
Directional regression
Harmonic functions
Phase extraction
Non-parametric regression and customer demands forecasting
Graph earth prediction

Format of the lab works

Create a .pynb or .py file Surname2022Lab in the folder
The report also could be in the .tex file.
Find the format of your report above.
The computational experiment contains common part and individual part.
Common part:
1. use four short sample set [airplane], [electricity], [accelerometer hand motion], [video hand motion],
2. prepare the design matrix and target a scalar/vector for each time sample (in the form time, vecx, vecy),
3. set the forecast horizon, plot the forecast and estimate the error.
Individual part:
1. select a lab work and specify your model (you can adopt any code available for),
2. tune parameters, make your forecast according the horizon,
3. write the report.
Error analysis is a part of the report:
plot of the forecast,
MAPE error (and your optimization error, if available) and its standard deviation,
prove your model has the optimal structure, try various structure parameters.

Details:

time refers to each sample (in unix or any useful format),
the horizon is an expected fundamental period,
note that the historical time ends before the forecasting period, it means we could use either historical data or the forecasted data (the historical data are not updated after history ends),
the forecasting protocol is in parer, text, slides by Nikita Uvarov.

Examples:

Lab work series I

Autoregression models

Lab 101 Kernel smoothing

Метод ядерного сглаживания временного ряда, как один из видов непараметрической регрессии. Он восстанавливает функцию времени взвешенной линейной комбинацией точек из некоторой окрестности. Непрерывную ограниченную симметричную вещественную весовую функцию называют ядром. Полученная ядерная оценка используется для прогнозирования следующей точки ряда. Исследуется зависимость качества прогнозирования от параметров ядра и наложенного шума см. Хардле. Select an optimal kernel to forecast a point of a phase trajectory in multivariate time series. Example

Lab 102 Exponential smoothing

Алгоритм экспоненциального сглаживания для прогнозирования временных рядов. Он учитывает предыдущие значения ряда с весами, убывающими по мере удаления от исследуемого участка временного ряда. Изучить поведение алгоритма на модельных данных в различных моделях весов. Проанализировать работу алгоритма на биржевых индексах. Select points of phase trajectory to smooth. Модели экспоненциального сглаживания:

Модель Брауна — экспоненциальное сглаживание
Модель Хольта — учитываются линейный тренд без сезонности
Модель Хольта-Уинтерса — учитываются мультипликативный тренд и сезонность
Модель Тейла-Вейджа — учитываются аддитивный тренд и сезонность
Модель Тригга-Лича — следящий контрольный сигнал используется для адаптации параметров адаптации
Сезонность

Example

Lab 103 Local forecasting

Временной ряд делится на отдельные участки, каждому из которых сопоставляется точка в n-мерном пространстве признаков. Локальная модель рассчитывается в три последовательных этапа. Первый – находит k-ближайших соседей наблюдаемой точки. Второй – строит простую модель, используя только этих k соседей. Третий – используя данную модель, по наблюдаемой точке прогнозирует следующую. Многие исследователи, используют эвклидову метрику для измерения расстояний между точками. Данная работа призвана сравнить точность прогнозирования при использовании различных метрик, в первую очередь Махаланобиса. В частности, требуется исследовать оптимальный набор весов во взвешенной метрике для максимизации точности прогнозирования. Example

Lab 103a Local forecasting with invariants

Find invariant translation in time (linear or non-linear) and in phase space (shift and scale). В проекте используются локальные методы прогнозирования временных рядов. В этих методах не находится представления временного ряда в классе заданных функций от времени. Вместо этого прогноз осуществляется на основе данных о каком-то участке временного ряда (используется локальная информация). В данной работе подробно исследован следующий метод (обобщение классического «ближайшего соседа»).

Пусть имеется временной ряд, и стоит задача продолжить его. Предполагается, что такое продолжение определяется предысторией, т.е. в ряде нужно найти часть, которая после некоторого преобразования A становится схожа с той частью, которую мы стремимся прогнозировать. Поиск такого преобразования A и есть цель данного проекта. Для определения степени сходства используется функция B – функция близости двух отрезков временного ряда (подробнее об этом см. здесь). Так мы находим ближайшего соседа к нашей предыстории. В общем случае ищем несколько ближайших соседей. Продолжение запишется в виде их линейной комбинации.

Lab 104 Singular spectrum analysis

В работе описывается метод гусеницы и его применение для прогнозирования временных рядов. Алгоритм основан на выделении из изучаемого временного ряда его информативных компонент и последующего построения прогноза. Исследуется зависимость точности прогнозов от выбора длины гусеницы и числа ее компонент. В вычислительном эксперименте приводятся результаты работы алгоритма на периодических рядах с разным рисунком внутри периода, на рядах с нарушением периодичности, а так же на реальных рядах почасовой температуры.

(Old variant Метод содержит четыре этапа - представление временного ряда в виде матрицы при помощи сдвиговой процедуры, вычисление ковариационной матрицы выборки и сингулярное ее разложение, отбор главных компонент,относящихся к различным составляющим ряда (от медленно меняющихся и периодических до шумовых), и, наконец, восстановление ряда. Областью применения алгоритма являются задачи как метеорологии и геофизики, так и экономики и медицины. Целью данной работы является выяснение зависимости эффективности алгоритма от выбора временных рядов, используемых в его работе.) Example, Example, Example

Lab 104a Singular spectrum analysis

Forecast a multivariate series, the target time series are subset of the design.

Lab 105 Simple neural network

Forecast a (multivariate) time series with 2-NN. Find the optimal number of neurons. (Old variant Исследование зависимости качества прогнозирования нейронными сетями без обратной связи (одно- и многослойными перцептронами) от выбранной функции активации нейронов в сети, а также от параметров этой функции. Результат – оценка качества прогнозирования нейронными сетями в зависимости от типа и параметров функции активации.) Example, Example

Lab 106 ARIMA

Find the optimal p,d,q. ARIMA model examples [1] , [2] , [3] , [4] , [5] !!!!!! , [6] , [7] , [8] , [9] , [10]. Example

Lab 106a GARCH

Plot the forecast and error(t).

Lab 107 Vector autoregression

Forecast a multivariate time series. Find an optimal structure of VAR-model.

Lab 108 Discrete functions to forecast MIDI

Прогнозирование музыкальных произведений. Прогнозирование функциями дискретного аргумента (пример) В работе исследуются короткие временные ряды на примере монофонических музыкальных мелодий. Происходит прогнозирование одной ноты экспоненциальным сглаживанием, локальным методом, а также методом поиска постоянных закономерностей. Вычислительный эксперимент проводится на двух мелодиях, одна из которых имеет точно повторяющиеся фрагменты. Example

Lab 109 Spline approximation and forecasting

The description and code is here.

Lab 110: SVN–regression and forecasting

Use a linear model with or without kernel trick with quadratic or SVN error function.

Lab 111: Flexible Least Squares

Example

Lab 112: Event forecasting

Event and change-point forecasting models Example

Lab 106b: Histogram forecasting

Example and error correction (Uvarov's paper)

RESUME of Lab series I

Golden rules of forecasting

The forecast horizon is a segment in the time-scale (there is no one-point forecast).
Multivariate time series only (there are no single-variate ones). Sometimes the time series are spatial.

Lab Series II

Tensor low-rank approximation

Коренев, Г.В. Тензорное исчисление, 2000, 240 с., lib.mipt.ru.
Roger Penrose, "Applications of negative dimensional tensors," in Combinatorial Mathematics and its Applications, Academic Press (1971). See Vladimir Turaev, Quantum invariants of knots and 3-manifolds (1994), De Gruyter, p. 71 for a brief commentary PDF.
Tai-Danae Bradley, At the Interface of Algebra and Statistics, 2020, ArXiv.
Oseledets, I.V. Tensor-Train Decomposition //SIAM Journal on Scientific Computing, 2011, 33(5): 2295–2317, DOI, RG, lecture, GitHub, Tutoiral.
Wikipedia: SVD, Multilinear subspace learning, HOSVD.
Seminar 4 in 2021
HOTTBOX: Higher Order Tensors ToolBOX is the entrance point
TensorLy: Fast & Simple Tensor Learning In Python
Tensor Toolbox for MATLAB
Examples and links 2021
AlphaTensor by DeepMind explained

Lab 201

Tensor approximation. Approximate the 2, 3 and 4 index matrices using low-rank decompositions, linear and nonlinear. The data sets are: a picture, a short animation movie (basic variant), a sound spectrogram, an fMRI. Plot the sequence of data approximations with ranks 1,..,n. Plot the error: x-axis is the rank, y-axis is the approximation error. Plot the variance of the error for various samples of data, if possible.

Code [Tucker, PARAFAC-CANDECOMP, Tensor-train, and variants]
Data sets [Cartoon, Sound, fMRI, and variants]

Lab 202

PCA on higher orders. Construct a linear map of pairwise distance matrix to a space of lower dimensionality and plot the data. There are two possibilities: high-rank dimensional reduction and order reduction. If you could demonstrate the order reduction, it would be great. The pictures are appreciated.

Code [Tucker, Tensor-train, and variants]
Data sets [Cartoon, Sound, fMRI, and variants]

Lab 203

Three-dimensional image reconstruction. Use sinograms of the computed tomography scans. Show the sequential approximation like in the lab work 1 with plots.

Code [linear and NN]
Data [Sinogram to fMRI]

Lab 204

Formalize the set of low-rank approximation quality criterions (for multilinear operators with pseudo-inverses): precision, stability, computational complexity. Compare the decomposition methods from hottbox.

Code [Hottbox]
Data [Synthetic data with a simple visual/geometric visualization, like TF logo]

Lab 205

Construct a phase trajectory of a spatial time series (a video, cartoon) and make a forecast with the higher order singular structure analysis.

Code [SSA, HOSVD]
Data [Cartoon with a walking hero]

Lab 206

Construct two phase trajectories of spatial time series and discover a casualty with the higher order convergent cross mapping.

Code [CCM, HOSVD]
Data [Cartoon with a walking hero]

Lab 207

Reduction an index on the tensor representation of the data, along with dimensionality reduction. The data is synthetic video, in more than 4D space, visualised by 3D projections.

Code [HOSVD, HOPCA]
Data [Synthetic 4D+ video]

Lab 208

Higher order spectra analysis versus (higher order) Fourier transform on six-dimensional gyrokinetic data. Reduce number of indexes in tensor data.

Code [HOSVD]
Data [Gyrokinetic data 10.1016/j.jcp.2012.02.007]

Lab 209

Combine higher-order PLS with CCN to predict eye-movement.

Code [HOPLS]
Data [Systhesic video and eye-movement]

Lab 210

Higher order PLS for multiway data

Code [HOPLS]
Data [Accelerometer under various conditions to predict gyro data]

Lab 211

Tensor caterpillar (see paper)

Code [HOSSA]
Data [Energy] cut with two or three periodics

RESUME of Lab series II

Golden rules of forecasting

The periods, frequencies, spaces, and all cartesian-product-dependencies, which could be represented as multi-way matrix, must be represented like that.
The number of ways must be optimal.

Lab Series III

This series goes to the BCI-ML library. You have to upload an algorithm in py and its usage in (pynb) along with the example data. The series require the data from IMU: accelerometer and gyroscope. These data must acquire some periodic activity from one of more sensors with common time. Examples:

two phones in a pocket of a walking person,
two phones in a pocket and an opposite hand of a walking person,
phones in pockets of several dancing persons.

For some tasks the the time series must be splitted in-phase or randomly in a set of segments. For some tasks the trajectory matrix is the main object to model.

Each set of time series includes three components (x,y,z) for accelerometer and for gyroscope.

Lab 301

Use IMU time series. Cut randomly one or two periods from time-series data (x,y,z of accelerometer) to make a segment. Collect a set of the segments. Variate sizes are welcome. Make the pairwise DTW alignment. Plot the results. Suggest a model of a linear path of minimum cost with a free time-ending (use weighted distance). W-DTW, paper, toolbox.

Lab 302

Use IMU time series. Cut in-phase one or two periods from time-series data (x,y,z of accelerometer) to make a set of segments. Find the barycenter using DBA algorithm. Plot the result.

Lab 303

Reconstruct the phase of a time series. The Nadaraya-Watson algorithm is basic. For a quasi-periodic stationary time series make its phase trajectory. Recover regression for each sample of the phase. Show the convergence along the time. Plot the time series and its phase.

Basic code by Denis Tikhonov. See also example

Lab 304

Reconstruct the directional regression pynb, txt. Use IMU time series.

Lab 306

Reconstruct the spherical regression. Use IMU time series. Basic code by Denis Tikhonov.

Lab 307

Convergence cross-mapping. Detect if two time series describe one dynamic system. text

Lab 308

Granger test.

Lab 309

A person walks with two phones. One in a hand and the other in the opposite pocket. The problem is to forecast the hand movement with the pocket movement only. W PLS, W CCA, paper Roman Isachenko. Ask for the PLS code.

Lab 310

There given a low-resolution video of a pendulum as the source. And two time series, angle and acceleration, of this pendulum as the target. Given a point of the phase trajectory in the source space (4-way matrix), we have to forecast the angle and acceleration of the pendulum. See HOPLS. Ask for code.

Lab 311

Lab 312

Lab works, Series IV

Continous-time models

The datasets for any lab work (if it is not specified) are 1) synthetic, are generated from the explicit solution of some differential equation, 2) from existing datasets, but not too long, 3) the self-made measurements are welcome. All of us have accelerometer, microphone, photo-video camera in the mobile phone.

References

Neural Ordinary Differential Equations by Ricky T. Q. Chen, Yulia Rubanova, Jesse Bettencourt, David K. Duvenaud // NeurIPS 2018 [11]
Learning neural event functions for ordinary differential equations by Ricky T. Q. Chen, Brandon Amos, Maximilian Nickel // ICLR 2021, arXiv:2011.03902v4
Interpolation Technique to Speed Up Gradients Propagation in Neural ODEs by Talgat Daulbaev, Alexandr Katrutsa, Larisa Markeeva, Julia Gusak, Andrzej Cichocki, Ivan Oseledets // 2020, arXiv:2003.05271v2
Dynamical Systems with Applications using Python by Stephen Lynch, 2018
How To Train Your Neural ODE ChrisFinlay et al. [12] or [13]

Code

PyTorch Implementation of Differentiable ODE Solvers by Ricky Chen [14]
A PyTorch library dedicated to neural differential equations and implicit models (the simplest implement, 100 lines). Maintained by DiffEqML [15]
Neural Ordinary Differential Equations by Mikhail Surtsukov (Russian explanation)
Meta-Solver for Neural Ordinary Differential Equations by Julia Gusak [16], [17]
Neural ODE Processes code paper
PyTorch Implementation of Differentiable ODE Solvers [github.com/rtqichen/torchdiffeq]
Jupyter notebook with Pytorch implementation of Neural Ordinary Differential Equations [github.com/msurtsukov/neural-ode]
DiffEqFlux.jl – A Julia Library for Neural Differential Equations Julia [18]

Lab 401

Plot the direction field and approximation by ODE-Net near the special points for simple ODEs like y’=y/x (uniform/узел), y’=-y/x saddle, y’=-x/y center, y’=(x+y)/(x-y) spiral.

Lab 402

Plot the stable and unstable phase portraits and approximations for simple ODE.

Lab 403

Find the ODE and plot the solution and ODE-Net approximation to compare and show difference between ODEsolvers: Euler, RK4 and others.

Lab 404

Approximate and plot the electricity consumption time series. Compare the ODE-Net and LSTM or another model you like.

Lab 405

Plot and approximate by ODE-Net the phase portrait of a pendulum with decay.

Lab 405a

Plot and approximate the phase portrait of coupled pendula.

Lab 406

Approximate an accelerometer (walking time series) by a solution of the pendulum ODE.

Lab 406a

Approximate an accelerometer by a solution of the double-pendulum ODE.

Lab 406b

Approximate an accelerometer and a gyroscope (acceleration and velocity) by a solution of the pendulum ODE.

Lab 407

Lorentz attractor, three ODEs. Compare the forecast LSTM (or any model you like) how it differs from the forecast ODE-Net under different initial conditions and under different noise conditions. An option is to immerse the trajectory in a space of a higher dimension by random rotation.

Lab 408

LSTM и ODE-RNN от от Алины Самохиной раздел 2.2.2, только вместо EEG для упрощения временные ряды потребления электроэнергии.

Lab 409

Compare generated and forecaster electricity electricity consumption consumption time series, see section 5 the arXiv:1806.07366v5 and the [ code]

Lab 410

Re-run the normalizing flows from the paper for various examples and analyse properties.

Exam questions

See the course plan above

Ссылки на материалы курса

Тема	Ссылка
Вероятностные прогностические модели	Стрижов В.В. Функция ошибки в задачах восстановления регрессии // Заводская лаборатория. Диагностика материалов, 2013, 79(5) : 65-73.
Порождение вероятностных моделей	Strijov V.V., Krymova E.A., Weber G.W. Evidence optimization for consequently generated models // Mathematical and Computer Modelling, 2013, 57(1-2) : 50-56.
Оценка гиперпараметров вероятностных моделей	Kuznetsov M.P., Tokmakova A.A., Strijov V.V. Analytic and stochastic methods of structure parameter estimation // Informatica, 2016, 27(3) : 607-624.
Проблема мультиколлинеарности в задачах прогнозирования	Katrutsa A.M., Strijov V.V. Stresstest procedure for feature selection algorithms // Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems, 2015, 142 : 172-183.
Выбор признаков и метод Белсли	Нейчев Р.Г., Катруца А.М., Стрижов В.В. Выбор оптимального набора признаков из мультикоррелирующего множества в задаче прогнозирования // Заводская лаборатория. Диагностика материалов, 2016, 82(3) : 68-74.
Квадратичное программирование для выбора признаков	Katrutsa A.M., Strijov V.V. Comprehensive study of feature selection methods to solve multicollinearity problem according to evaluation criteria // Expert Systems with Applications, 2017, 76 : 1-11.
Авторегрессионное прогнозирование и метод Гусеница (Singular spectrum analysis)	Сандуляну Л.Н., Стрижов В.В. Выбор признаков в авторегрессионных задачах прогнозирования // Информационные технологии, 2012, 7 : 11-15.
Прогнозирование сигналов носимых устройств	Карасиков М.Е., Стрижов В.В. Классификация временных рядов в пространстве параметров порождающих моделей // Информатика и ее применения, 2016, 10(4) : 121-131.
Выбор прогностических моделей сигналов носимых устройств	Карасиков М.Е., Стрижов В.В. Классификация временных рядов в пространстве параметров порождающих моделей // Информатика и ее применения, 2016, 10(4) : 121-131. Усманова К.Р., Стрижов В.В. Обнаружение зависимостей во временных рядах в задачах построения прогностических моделей // Системы и средства информатики, 2019, 29(2) : 12-30.
Не вошло в материалы (сферическая регрессия в аппроксимации фазовых траекторий)	Usmanova K.R., Zhuravev K.V., Rudakov K.V., Strijov V.V. Approximation of quasiperiodic signal phase trajectory using directional regression // Computational Mathematics and Cybernetics, 2020.
Метод частичных наименьших квадратов и канонический корреляционый анализ	Isachenko R.V., Vladimirova M.R., Strijov V.V. Dimensionality reduction for time series decoding and forecasting problems // DEStech Transactions on Computer Science and Engineering, 2018, 27349 : 286-296.
Метод частичных наименьших квадратов (нелинейный вариант)	Isachenko R.V., Strijov V.V. Quadratic Programming Optimization with Feature Selection for Non-linear Models // Lobachevskii Journal of Mathematics, 2018, 39(9) : 1179-1187.
Построение моделей нейроинтерфейсов	Motrenko A.P., Strijov V.V. Multi-way feature selection for ECoG-based brain-computer interface // Expert Systems with Applications, 2018, 114(30) : 402-413.
Прогнозирование волатильности опционных торгов (прикладной проект)	Стрижов В.В., Сологуб Р.А. Индуктивное порождение регрессионных моделей предполагаемой волатильности для опционных торгов // Вычислительные технологии, 2009, 14(5) : 102-113.
Сравнение прогностических моделей	Уваров Н.Д., Кузнецов М.П., Малькова А.С., Рудаков К.В., Стрижов В.В. Выбор суперпозиции моделей при прогнозировании грузовых железнодорожных перевозок // Вестник Московского университета. Серия 15. Вычислительная математика и кибернетика, 2018, 4 : 41-48.