Участник:Василий Ломакин/Критерий Уилкоксона двухвыборочный
Материал из MachineLearning.
|
TODO:
- Иллюстрации - критическая область
- Графики
- Поправка
- Номер страницы с таблицей в Кобзаре
- Таблица ??? Найти в инете, скопировать и дать ссылку на источник?
Критерий Уилкоксона (Вилкоксона) двухвыборочный — непараметрический статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя выборками, взятыми из закона распределения, отличного от нормального, либо измеренными с использованием порядковой шкалы. Имеется аналог критерия Уилкоксона для связанных повторных наблюдений. Критерий является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения.
Пример задачи
Задача - сравнить две методики подготовки роженицы к родам. Сравнивается эффективность по оценке состояния новорожденного в баллах (шкала является порядковой).
Описание критерия
Заданы две выборки в противном случае следует поменять выборки местами.
Дополнительные предположения: обе выборки простые, объединённая выборка независима;
Вычисление статистики критерия:
- Построить общий вариационный ряд объединённой выборки
и найти ранги
всех элементов обеих выборок в общем вариационном ряду.
- Рассчитать суммы рангов, соответствующих обеим выборкам:
- Если размеры выборок совпадают (
), то значение статистики
будет равняется одной из сумм рангов
или
(любой). Если же выборки не равны, то
, то есть сумме рангов, соответствующей меньшей выборке. Заметим, что статистика
линейно связана со статистикой U-критерия Манна-Уитни.
Критерий (при уровне значимости ):
Против альтернативы :
- если
, то нулевая гипотеза отвергается. Здесь
есть
-квантиль табличного распределения Уилкоксона с параметрами
. [1][2]
Асимптотический критерий:
Рассмотрим нормированную и центрированную статистика Уилкоксона:
;
асимптотически имеет стандартное нормальное распределение. Нулевая гипотеза (против альтернативы
) отвергается, если
, где
есть
-квантиль стандартного нормального распределения.
Приближение можно использовать, если размер хотя бы одной из выборок превышает 25. Если размеры выборок равны, то данная аппроксимация хорошо работает до .[3]
При наличии связок необходимо учесть их с помощью поправки. Выражение в знаменателе необходимо заменить на следующее:
- где
- количество только тех связок, в которые входят ранги как одной, так и другой выборок,
- их размеры. Совпадения, целиком состоящие из элементов одной и той же выборки, на величину
не влияют. Наблюдения, не совпадающие с другими, рассматриваются как связки размера 1. Для элементов связок вычисляется средний ранг.
Применение критерия
В биологических и эконометрических приложениях метод часто используется для проверки гипотезы о равенстве средних двух независимых выборок. Вообще говоря, данное использование критерия некорректно. Можно построить примеры, когда , и средние выборок не совпадают.[6] При этом надо заметить, что данный недостаток не является редкостью, о многих популярных в математической статистике критериях можно сказать, что они не позволяют проверять те гипотезы, с которыми традиционно связаны. При применении подобных критериев к анализу реальных данных необходимо тщательно взвешивать их достоинства и недостатки.[7]
Критерий является аналогом критерия t-критерия Стьюдента для независимых выборок в случае закона распределения, отличного от нормального, либо данных, измеренных с использованием порядковой шкалы. Для нормально распределённых совокупностей следует использовать более мощный t-критерий.
Критерий Вилкоксона и U-критерий Манна-Уитни
Статистики критериев Вилкоксона и Вилкоксона-Манна-Уитни линейно связаны, поэтому, по сути, нет смысла говорить о двух различных критериях.[8] Оба они проверяют одну и ту же гипотезу и их границы применимости также совпадают. В то же время в литературе можно встретить рекомендации использовать критерий Вилкоксона для проверки равенства средних, когда нет предположений о дисперсиях,[9], а в случае равных дисперсий применять U-критерий Манна-Уитни.[10]
Проведём эксперимент: будем строить график достигаемого уровня значимости как функцию размера выборок и параметров распределения, усреднённого по нескольким десяткам экспериментов.
<График p-value критерия Вилкоксона для равных дисперсий. Размер выборок 50:50:500. Выборка1 . Выборка2
>
Примечания
- ↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — ??? c.
- ↑ Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 150 с.
- ↑ Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 161 с.
- ↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — 454 c.
- ↑ Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. — 206 с.
- ↑ Орлов А. И. Эконометрика. — 79 с.
- ↑ Орлов А. И. Эконометрика. — 83 с.
- ↑ Орлов А. И. Эконометрика. — 75 c.
- ↑ Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 160 с.
- ↑ Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 118 с.
Литература
- Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. В двух томах. — М.: П-центр, 2003. — 204-209 с.
- Лапач С. Н. , Чубенко А. В., Бабич П. Н. Статистика в науке и бизнесе. — Киев: Морион, 2002. — 160-164 с.
- Орлов А. И. Эконометрика. — М.: Экзамен, 2003. — §4.5.
- Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 576 ??? с.
Ссылки
- Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни — аналогичный критерий.
- Проверка статистических гипотез — о методологии проверки статистических гипотез.
- Критерий Уилкоксона для связных выборок — аналог критерия для случая парных повторных наблюдений.