Критерий Ван дер Вардена
Материал из MachineLearning.
Критерий Ван дер Вардена(Van der Waerden criteria) — непараметрический статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя выборками по признаку, измеренному в количественной шкале. Критерий является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения. Существует обобщение критерия Ван дер Вардена для выявления различий между несколькими выборками.
Содержание |
Примеры задач
Пример 1. Первая выборка — это пациенты, которых лечили препаратом А. Вторая выборка — пациенты, которых лечили препаратом Б. Значения в выборках — это некоторая характеристика эффективности лечения (уровень метаболита в крови, температура через три дня после начала лечения, срок выздоровления, число койко-дней, и т.д.) Требуется выяснить, имеется ли значимое различие эффективности препаратов А и Б, или различия являются чисто случайными и объясняются «естественной» дисперсией выбранной характеристики.
Пример 2. Первая выборка — это поля, обработанные агротехническим методом А. Вторая выборка — поля, обработанные агротехническим методом Б. Значения в выборках — это урожайность. Требуется выяснить, является ли один из методов эффективнее другого, или различия урожайности обусловлены случайными факторами.
Пример 3.(использование многовыборочного критерия Ван дер Вардена) Нужно проверить, как лекарство помогает в снятии соответствующего симптома. Взяты несколько групп пациентов, и каждой из них назначается определенная доза препарата. Гипотеза состоит в том, что по мере увеличения уровня дозы больные чувствуют себя лучше.
Описание критерия
Заданы две выборки .
Дополнительные предположения:
- обе выборки простые, объединённая выборка независима;
- выборки взяты из неизвестных непрерывных распределений
и
соответственно.
Статистика критерия:
- Построить общий вариационный ряд объединённой выборки
и найти ранги
элементов первой выборки в общем вариационном ряду.
- Статистика критерия Ван дер Вардена вычисляется по формуле:
, где
— квантиль уровня
стандартного нормального распределения
Критерий (при уровне значимости ):
- двусторонний критерий — против альтернативы
- если
, то нулевая гипотеза отвергается;
- если
- односторонний критерий -- против альтернативы
- если
, то нулевая гипотеза отвергается;
- если
Здесь -- это
-квантиль табличного распределения статистики Ван дер Вардена с параметрами
.
Асимптотический критерий
Распределение статистики Ван дер Вардена асимптотически нормально
с нулевым матожиданием и дисперсией
Нормальную аппроксимацию статистики Ван дер Вардена можно использовать при
.
В этом случае критерии (при уровне значимости )
будет выглядеть следующим образом:
- двусторонний критерий
, то нулевая гипотеза отвергается;
- односторонний критерий -- против альтернативы
- если
, то нулевая гипотеза отвергается;
- если
Свойства критерия Ван дер Вардена
Если выборки подчиняются нормальному распределению, то критерий Ван дер Вардена асимптотически имеет ту же мощность, что и критерий Стьюдента.
При критерий Ван дер Вардена не уступает в эффективности критерию Стьюдента
Многовыборочное обобщение критерия Ван дер Вардена
Заданы k выборок:
.
Объединённая выборка:
.
Дополнительные предположения:
- все выборки простые, объединённая выборка независима;
- выборки взяты из неизвестных непрерывных распределений
.
Статистика критерия:
Все элементов выборок упорядочиваются по возрастанию, через
обозначается ранг j-го элемента i-й выборки в полученном вариационном ряду.
Статистика Ван дер Вардена имеет вид
Проверяется нулевая гипотеза против альтернативы
.
Если нулевая гипотеза выполнена, то поведение статистики хорошо описывается
распределением хи-квадарат с
степенью свободы.
Нулевая гипотеза отвергается при уровне значимости , если
, где
— квантиль уровня
с
степенью свободы.
История
Критерий был предложен Ван дер Варденом в 1953 году.
Литература
- Ван дер Варден Б.Л. Математическая статистика/Пер.с нем. — М.: Иностранная литература,1960 — 450 c.
- Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.
См. также
- Проверка статистических гипотез — о методологии проверки статистических гипотез.
- Статистика (функция выборки)
- Критерий Стьюдента
- Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни — другой непараметрический критерий для оценки
различия между двумя выборками
- Критерий Краскела-Уоллиса — критерий для проверки равенства средних нескольких выборок
Ссылки
Van_der_Waerden_test - статья в Википедии о многовыборочном критерии Ван дер Вардена
![]() | Данная статья является непроверенным учебным заданием.
До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}. См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе. |