Биномиальное распределение двух случайных величин
Материал из MachineLearning.
Биномиальное распределение — это распределение двух случайных величин и в дискретной временной последовательности , первая случайная величина независимая, а вторая случайная величина зависима от первой, числовые значения случайных величин и это числа успехов в испытаниях () с постоянными вероятностями успехов ( Бернулли распределений) и , пронормированных согласно аксиоматике Колмогорова .
Пространство элементарных событий | |
Вероятность | |
Максимальная вероятность
(при математическом ожидании распределения) | |
Математическое ожидание
(как максимальное произведение математических ожиданий случайных величин) | |
Дисперсия | |
Максимальная дисперсия
(при математическом ожидании распределения) | |
Ковариационная матрица | , где
|
Корреляционная матрица | , где
|
- критерий |
|
Биномиальное распределение появляется в так называемой биномиальной схеме повторных циклов случайных зависимых экспериментов.
Каждый цикл экспериментов осуществляют методом выбора без возвращения в дискретной временной последовательности.
Технические задачи и технические результаты
Для получения биномиального распределения необходимо решить две технические задачи и получить технические результаты, относящиеся к математической физике [1,2][1] ,[1]. Первая и вторая технические задачи — соответственно получение вероятности и получение математического ожидания биномиального распределения.
Технические результаты — набор технических параметров, с одной стороны, минимально необходимый для описания биномиального распределения и его случайных величин, с другой стороны, позволяющий при необходимости расширить число параметров с целью получения дополнительных сведений о распределении, например, таких как корреляционная матрица, ковариационная матрица , χ2 критерий и другие.
Минимально необходимый набор параметров при решении первой технической задачи: пространство элементарных событий, вероятность, математическое ожидание и дисперсия каждой случайной величины распределения, дисперсия распределения и произведение математических ожиданий его случайных величин как исходное выражение для решения второй технической задачи.
При решении второй технической задачи минимально необходимый набор параметров аналогичен предыдущему набору. Исключен из-за ненадобности один параметр — произведение математических ожиданий случайных величин и дополнен двумя параметрами — максимальной вероятностью и максимальной дисперсией биномиального распределения, совпадающей с математическим ожиданием биномиального распределения. Технические результаты — набор технических параметров, с одной стороны, минимально необходимый для описания биномиального распределения и его случайных величин, с другой стороны, позволяющий при необходимости расширить число параметров с целью получения дополнительных сведений о распределении, например, таких как корреляционная матрица, ковариационная матрица и другие.
При решении второй технической задачи минимально необходимый набор параметров аналогичен предыдущему набору. Исключен из-за ненадобности один параметр — произведение математических ожиданий случайных величин и дополнен двумя параметрами — максимальной вероятностью и максимальной дисперсией биномиального распределения, совпадающей с математическим ожиданием биномиального распределения.
Биномиальное распределение
совместное распределение вероятностей двух случайных величин
определённых на точечных пространствах элементарных событий
и принимающих в дискретные последовательные моменты времени
целые неотрицательные значения
взаимосвязанные условием
согласно которому
если в первый момент времени первая случайная величина приняла значение
то во второй момент времени вторая случайная величина принимает значение
Урновая модель биномиального распределения
Урновая модель биномиального распределения содержит одну исходную урну и две приёмные урны. Объем каждой из них не менее объёма исходной урны. Нумерация приёмных урн соответствует нумерации случайных величин биномиального распределения. В начальный момент времени исходная урна содержит - множество различимых неупорядоченных элементов, а приёмные урны пусты. Первая выборка
в первый момент времени направляется в первую приёмную урну с вероятностью каждого элемента. Во второй момент времени все оставшиеся элементы исходной урны, образующие вторую выборку
направляются во вторую приёмную урну с вероятностью каждого элемента. В результате исходная урна пуста, а все её элементы размещены в приёмных урнах. После обработки результатов разбиения множества на подмножества элементы возвращают на прежнее место, и урновая модель готова к проведению очередного цикла зависимых экспериментов. Произведение вероятностей попадания элементов в две приёмные урны есть биномиальное распределение двух случайных величин.
Получение математического ожидания
Математическое ожидание биномиального распределения получают одним из двух способов: как максимум произведения математических ожиданий его случайных величин, или как максимум вероятности распределения. Необходимые
и достаточные условия:
Математическое ожидание и максимальная вероятность:
- ;
равна математическому ожиданию, максимальная дисперсия
Пространство элементарных событий биномиального распределения при получении его математического ожидания
расположено в точках временной последовательности.
Способ получения вероятностей биномиального распределения
Этот способ относится к техническим задачам разделения дискретного целого на составные части случайных объёмов. Целым является множество дискретных элементов, различимых (хотя бы одним признаком, например, порядковыми номерами) и не упорядоченных (хаотично расположенных). Составные части множества — дискретные два подмножества , в сумме равные объёму множества: . Разделение множества на подмножества осуществляют выборками без возвращения. Выборки следуют во времени одна за другой. В начальный момент времени , не обязательно равный нулю , множество содержит различимых неупорядоченных элементов. В первый момент времени из -множества осуществляют первую выборку случайного объёма с вероятностью каждого её элемента. Вероятность первой случайной величины биномиального распределения определяется числом сочетаний из по , умноженным на вероятность выбора одного элемента, возведённую в степень числа выбранных элементов:
Во второй момент времени из оставшихся элементов исходного множества осуществляют вторую выборку единственным способом: с вероятностью каждого элемента. Вероятность второй случайной величины при условии, что в первый момент времени вероятность первой случайной величины биномиального распределения приняла значение , определяется числом сочетаний из по , умноженным на вероятность выбора одного её элемента, возведённую в степень числа выбранных элементов:
Произведение двух вероятностей есть вероятность распределения — совместное распределение вероятностей двух случайных величин: первая независимая, а вторая зависима от первой
Когда число случайных величин больше двух и, следовательно, число испытаний больше двух , имеют место вероятности полиномиального (мультиномиального) распределения интерпретации 21-го века
Способ получения математического ожидания биномиального распределения
Этот способ относится к техническим задачам разделения дискретного целого на составные части и отличается от способа получения вероятностей полиномиального распределения интерпретации 21-го века тем, что число выборок равно числу элементов исходного множества и каждая выборка имеет единичный объём: . Целым является множество дискретных элементов, различимых (хотя бы одним признаком, например, порядковыми номерами) и не упорядоченных (хаотично расположенных). Множество содержит два элемента: . Составные части множества — дискретные два подмножества , в сумме равные объёму множества: . Разделение множества на подмножества осуществляют выборками без возвращения. Выборки следуют во времени одна за другой. В начальный момент времени , не обязательно равный нулю , множество содержит два различимых неупорядоченных элемента. В первый момент времени из -множества осуществляют первую выборку единичного объёма с вероятностью . Вероятность первой случайной величины биномиального распределения определяется числом сочетаний из по , умноженным на вероятность выбора одного элемента:
Во второй момент времени из оставшегося одного элемента исходного множества осуществляют вторую выборку единичного объёма с вероятностью . Вероятность второй случайной величины при условии, что в первый момент времени вероятность первой случайной величины биномиального распределения приняла значение , определяется числом сочетаний из по , умноженным на вероятность выбора одного элемента:
Произведение этих вероятностей есть математическое ожидание биномиального распределения интерпретации 21-го века— распределения двух случайных величин, первая их них независимая,а вторая зависима от первой
Когда число случайных величин больше двух и, следовательно, число испытаний больше двух , имеет место математическое ожидание мультиномиального распределения интерпретации 21-го века
Биномиальное распределение как процесс выполнения взаимосвязанных действий над объектами
Объекты: множество, его подмножества и их элементы как объективная реальность, существующая вне нас и независимо от нас.
- Cлучайный процесс безвозвратного разделения последовательно во времени и в пространстве конечного - множества различимых неупорядоченных элементов на две части случайных объёмов, сумма которых равна объёму исходного множества: ,
- разделение множества осуществляют выборками без возвращения (изъятые из множества элементы не возвращают обратно во множество до полного окончания экспериментов),
- вероятность попадания одного произвольного элемента множества в каждое из подмножеств принимают за вероятность успеха (успешного завершения испытания) Бернулли распределения ,
- вероятности успехов Бернулли распределения нормируют согласно аксиоматике Колмогорова и принимают неизменными до окончания испытаний,
- результаты каждого разбиения обрабатывают вероятностными методами, определяют технические характеристике всех выборок и принимают их за технические характеристики случайных величин биномиального распределения,
- минимально необходимый набор технических характеристик случайных величин и биномиального распределения в целом это: пространство элементарных событий, вероятность , математическое ожидание и дисперсия,
- математическое ожидание биномиального распределения имеет место, когда число выборок равно числу элементов -множества и численно равно .
Биномиальное распределение как цепь Маркова
Биномиальное распределение появляется в последовательности двух испытаний, первое из них случайное независимое, а второе зависимое от первого испытания. Исходы испытаний конечны и счётны. По сути — это простейшая цепь Маркова. (, называемое начальным распределением цепи Маркова, для биномиального распределения не имеет смысла , поскольку нумерация случайных величин начинается с единицы.) Единственная переходная вероятность
заключается в том, что вторая случайная величина во второй момент времени вынуждена принять числовое значение, равное , при условии, что в первый момент времени первая случайная величина приняла случайное число . Следовательно и вероятность биномиального распределения
как произведение первой независимой и второй зависимой случайных величин является цепью Маркова. Биномиальное распределение, как цепь Маркова, является стахостической.
Переходная вероятность биномиального распределения является дискретной функцией. Следовательно, биномиальное распределение является марковским процессом с дискретным временем.
Парадоксы биномиального распределения на элементарном уровне познания
Полностью эта проблема изложена в отдельной статье http://www.wikiznanie.ru/ru-wz/index.php/Парадоксы биномиального распределения.
Во всех областях научного знания за исключением теории вероятностей приставка би (в переводе с латинского означающая сдвоенный, состоящий из двух частей) используется правильно, например, в авиации биплан — самолет со сдвоенными крыльями, в оптике бинокль — сдвоенный монокль, в комбинаторике бином — двучлен, и только в современной теории вероятностей биномиальное распределение — распределение, полученное не основе бинома (двучлена), является распределением одной случайной величины…
Парадокс заключается в том, что http://wikipedia.ru/wiki/биномиальное распределение считается распределением одной случайной величины, а на самом деле биномиальное распределение является распределением двух случайных величин, в котором первая случайная величина является независимой, а вторая зависима от первой.
Парадокс возник из-за ошибки в логике рассуждений и получил повсеместное распространение с середины 20-го века. Подобно тому, как из полинома (из многочлена) методом дедукции получают бином (двучлен), а из бинома методом индукции получают полином, так и по аналогии из полиномиального распределения (из распределения с числом случайных величин больше двух) методом дедукции обязаны получить биномиальное распределение (распределение с двумя случайными величинами), а из биномиального распределения (из распределения с двумя случайными величинами) методом индукции обязаны получить полиномиальное распределение (распределение с числом случайных величин больше двух).
Этот парадокс настолько распространён и настолько прост, что может быть проиллюстрирован на элементарных примерах. 1. Пусть в полиноме 10 членов. Сократив в нём число членов до двух, получим два:10:5=2. 2. В биноме 2 члена. Умножив их на 5, получим, что в полиноме 10 членов: 2х5=10. 3. Пусть в полиномиальном распределении 10 случайных величин. Сократив число случайных величин до двух, по аналогии обязаны получить биномиальное распределение с двумя случайными величинами: 10:5=2. Однако принято считать, что биномиальное распределение это распределение одной случайной величины, иными словами, если 10 разделить на 5, то получится один! Это первый парадоксальный результат: 10:5=1. 4. Число случайных величин биномиального распределения традиционной интерпретации, равное одному, умножив на 5 получим, что в полиномиальном распределении 5 случайных величин: 1х5=5. Это второй парадоксальный результат, поскольку изначально исходили из того, что в полиномиальном распределении 10 случайных величин.
Во времена В. Я. Буняковского биномиальное распределение, как распределение двух случайных величин и на его основе полиномиальное распределение (оба так ещё не называемые) впервые были опубликованы им в 1846 году [1].
В современной записи биномиальное и полиномиальное распределения Буняковского имеют следующий вид:
Литература
См. также
- Мультиномиальное распределение независимых случайных величин
- Мультиномиальное распределение зависимых случайных величин
- Мультиномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли
- Парадоксы мультиномиального распределения
- Биномиальное распределение одной случайной величины
- Биномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли
- Парадоксы биномиального распределения