Квантиль

Материал из MachineLearning.

Версия от 12:34, 13 ноября 2009; Pavel Vilenkin (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Содержание

1 Определение
2 Часто используемые квантили специальных видов
3 Терминология, принятая в математической статистике
4 Выборочный квантиль
5 Литература
6 Ссылки

$\alpha$ -кванти́ль (или квантиль порядка $\alpha$ ) — числовая характеристика закона распределения случайной величины; такое число, что данная случайная величина попадает левее его с вероятностью, не превосходящей $\alpha$ .

Определение

$\alpha$ -кванти́ль случайной величины $\xi$ с функцией распределения $F(x) = \mathbb{P} \{ \xi < x \}$ — это любое число $x_\alpha$ , удовлетворяющее двум условиям:

1) $F(x_\alpha) \leq \alpha$ ;

2) $F(x_\alpha+0) \geq \alpha$ .

Заметим, что данные условия эквивалентны следующим:

$\mathbb{P}(\xi<x_\alpha)\le\alpha$ и $\mathbb{P}(\xi>x_\alpha)\le 1- \alpha$

Если $F(x)$ — непрерывная строго монотонная функция, то существует единственный квантиль $x_\alpha$ любого порядка $\alpha \in (0,\,1)$ , который однозначно определяется из уравнения $F(x_\alpha) = \alpha$ , следовательно, выражается через функцию, обратную к функции распределения:

$x_\alpha = F^{-1}(\alpha).$

Кроме указанной ситуации, когда уравнение $F(x_\alpha) = \alpha$ имеет единственное решение (которое и дает соответствующий квантиль), возможны также две других:

если указанное уравнение не имеет решений, то это означает, что существует единственная точка $x_\alpha$ , в которой функция распределения имеет разрыв, которая удовлетворяет данному определению и является квантилью порядка $\alpha$ . Для этой точки выполнены соотношения: $\mathbb{P}(\xi<x_\alpha)<\alpha$ и $\mathbb{P}(\xi>x_\alpha)\le 1- \alpha$ (первое неравенство строгое, а второе может быть как строгим, так и обращаться в равенство).
если уравнение имеет более одного решения, то все его решения образуют интервал, на котором функция распределения постоянна. В качестве квантили порядка $\alpha$ может быть взята любая точка этого интервала. Содержательные выводы, в которых участвует квантиль, от этого существенно не изменятся, поскольку вероятность попадания случайной величины $\xi$ в данный интервал равна нулю.

При построении доверительного интервала для случайной величины $\xi$ используется равенство

$\mathbb{P}\left\{ x_{(1-\alpha)/2} \le \xi \le x_{(1+\alpha)/2} \right\} = \alpha$ .

Часто используемые квантили специальных видов

Проценти́ль $x_{p/100}, \; p=1,\ldots,99.$

Дециль $x_{p/10}, \; p=1,\ldots,9.$

Квинтиль $x_{p/5}, \; p=1,2,3,4.$

Квартиль $x_{p/4}, \; p=1,2,3.$

Медиана $x_{1/2}.$

Терминология, принятая в математической статистике

В задачах математической статистики часто возникает необходимость отделить сверху, снизу или с обеих сторон области, вероятности попадания в которые малы. В связи с этим часто используется следующая терминология.

Нижняя (односторонняя) квантиль уровня $\alpha$ - это то же, что и обычная квантиль порядка $\alpha$ :

$x_\alpha^- = x_\alpha$ .

Верхняя (односторонняя) квантиль уровня $\alpha$ - это обычная квантиль порядка $1-\alpha$ :

$x_\alpha^+ = x_{1-\alpha}$ .

Двусторонние квантили уровня $\alpha$ - это пара (нижняя+верхняя) односторонних квантилей уровня $\alpha/2$ .

Выборочный квантиль

Пусть задана простая выборка $x^m = (x_1,\ldots,x_m)$ , и её вариационный ряд есть

$x^{(1)} \leq x^{(2)} \leq \cdots \leq x^{(m)}.$

Выборочный $\alpha$ -кванти́ль или выборочный квантиль порядка $\alpha$ , $\alpha \in (0,\,1)$ есть статистика (функция выборки), равная элементу вариационного ряда с номером $[m\alpha+1]$ (целая часть от $m\alpha+1$ ).

Пусть $f$ — плотность, $F$ — функция распределения случайной величины $x$ . Тогда выборочные квантили $0 < \alpha_1 \leq \cdots \leq \alpha_k < 1$ имеют при $m \to \infty$ асимптотически k-мерное нормальное распределение с математическими ожиданиями, равными (не выборочным) квантилям $x_{\alpha_i},\; i=1,\ldots,k$ и ковариациями