Материал из MachineLearning.
Многоме́рное норма́льное распределе́ние (или многоме́рное га́уссовское распределе́ние) в теории вероятностей — это обобщение одномерного нормального распределения.
Определения
Случайный вектор ^{\top}: \Omega \to \mathbb{R}^n)
имеет многомерное нормальное распределение, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:
-
.
-
 = \frac{1}{(2\pi )^{n/2} | \Sigma |^{1/2}} e^{-\frac{1}{2}(\mathbf{x} - \mathbf{\mu})^{\top} \Sigma^{-1} (\mathbf{x} - \mathbf{\mu})},\; \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n)
,
где 
— определитель матрицы 
, а 
— матрица обратная к .
- Существует вектор
и неотрицательно определённая симметричная матрица 
размерности 
, такие что характеристическая функция вектора 
имеет вид:
-
 = e^{i \mathbf{\mu}^{\top} \mathbf{u} - \frac{1}{2}\mathbf{u}^{\top} \Sigma \mathbf{u}},\; \mathbf{u} \in \mathbb{R}^n)
.
Замечания
- Если одно из приведённых выше определений принято в качестве основного, то другие выводятся в качестве теорем.
- Вектор
является вектором средних значений , а — его ковариационная матрица.
- В случае
, многомерное нормальное распределение сводится к обычному нормальному распределению.
- Если случайный вектор имеет многомерное нормальное распределение, то пишут
)
.
Свойства многомерного нормального распределения
- Если вектор
^{\top})
имеет многомерное нормальное распределение, то его компоненты 
имеют одномерное нормальное распределение. Обратное, вообще говоря, неверно!
- Если случайные величины
имеют одномерное нормальное распределение и совместно независимы, то случайный вектор имеет многомерное нормальное распределение. Матрица ковариаций такого вектора диагональна.
- Если имеет многомерное нормальное распределение, и его компоненты попарно некоррелированы, то они независимы. Однако, если только компоненты
имеют одномерное нормальное распределение и попарно не коррелируют, то отсюда не следует, что они независимы.
- Контрпример. Пусть
)
, а 
с равными вероятностями. Тогда если )
, то корреляция 
и 
равна нулю. Однако, эти случайные величины зависимы.
-
)
.
имеет нормальное распределение или является константой.
, вещественный вектор
и матрица
размерности
, такие что:
, то
