Критерий Кокса-Стюарта

Материал из MachineLearning.

Критерий Кокса-Стюарта предназначен для проверки тренда средних и дисперсий в последовательности наблюдений.

Описание критерия

Нулевая гипотеза $H_0$ - существование тренда.

Для критерия среднего в выборке объема $n$ предложена статистика

$S_1 = \sum_{i=1}^{[\frac{n}{2}]}(n-2i+1)h_{i,n-i+1}$ , где

$h_{i,j} = \begin{cases} 0, & x_i>x_j; \\ 1, & x_i \leq x_j. \end{cases} \quad (i<j)$

Критерий, основанный на статистике $S_1$ , имеет эффективность $\approx 0.86$ по отношению к наилучшему параметрическому критерию.

Для проверки гипотезы тренда применяется нормализованная статистика

$S_1^* = \frac{S_1 - M(S_1)}{\sqrt{D(S_1)}$ , где

$M(S_1) = \frac{n^2}8$ и

$D(S_1) = \frac{n(n^2-1)}{24}$ .

При $|S_1^*| < u_{\frac{1+\alpha}2}$ нулевая гипотеза $H_0$ существования тренда среднего отклоняется, в противном случае гипотеза $H_0$ принимается.

Критерий для проверки гипотезы о тренде дисперсии в выборке строится следующим образом. Выборка $x_1,\ldots,x_n$ разбивается на $n/k$ подвыборок $x_1,\ldots,x_k;x_{k+1},\ldots,x_{2k};x_{2k+1},\ldots,x_{3k};\ldots;x_{n-k+1},\ldots,x_n$ (если $n$ не делится на $k$ отбрасывается необходимое число наблюдений в центре). Для каждой i-той подвыборки находится размах $\omega_i \; (1 \leq i \leq r) \; (r = [\frac{n}{k}])$ . Далее размахи $\omega_i$ проверяются на тренд критерием $S_1$ .