Критерий Чоу

Материал из MachineLearning.

Тест Чоу позволяет оценить значимость улучшения регрессионной модели после разделения исходной выборки на части. Это модификация однопараметрической экспоненциальной модели с коррекцией коэффициента линейного тренда. В методе Чоу происходит адаптация параметра к изменениям в дианамике ряда.

Примером использования данного критерия может служить задача, которую решал Чоу. Он тестировал свой метод на рядах месячных данных о сделках на различные виды продукции: перчатки, смазочные материалы, сальники, подшипники и т.д. Данные представляли собой разнообразные образцы поведения экономических временных рядов, включая циклическое движение. В 59 случаев из 60 предлагаемый метод показал преимущества перед стандартной процедурой и в одном случае результаты были почти одинаковы.

Постановка задачи

Основной задачей в этом разделе является обнаружение структурных изменений.

Пусть на временном интервале $[T_1;T_3]$ прогноз для момента $t$ по уже полученным данным $y_t$ имеет следующий вид:

$\hat{y}_t=\sum_{j=1}^kf_j(t)\alpha_j$

$f_j(t)$ - признаки (информация), по которым строится прогноз на момент времени $t$ , т.е. могут быть определены только до $t-1$ го момента

Варианты выбора функции $f_j$ :

$f_j$ может быть функцией времени ( $t, t^2,\ldots$ )
члены авторегрессии: $f_j=y_{t-1},y_{t-2},\ldots$
$f_j$ - внешние данные

Выделим внутри рассматриваемого временного интервала момент $T_2$ . Пусть прогноз на отрезке

$[T_1;T_2]:\; \hat{y}_{1t}=\sum_{j=1}^{k_1}f_{1j}(t)\alpha_{1j};$

$[T_2;T_3]:\; \hat{y}_{2t}=\sum_{j=1}^{k_2}f_{2j}(t)\alpha_{2j}$

Определим, насколько же необходимо менять модель в момент времени $T_2$ .

Описание критерия Чоу

Пусть $\vareps_{1t}=\hat{y}_{1t}-y_t,\; \vareps_{2t}=\hat{y}_{2t}-y_t$ - неточности в предсказании рядов на отрезках $[T_1;T_2]$ и $[T_2;T_3]$ соответственно.

Будем считать, что $\vareps_{1t},\; \vareps_{2t}$ распределены нормально с одними и теми же параметрами.

Нулевая гипотеза

Сформулируем нулевую гипотезу:

$H_0:\;$ структура стабильна

(разбиение на две модели не способствовало лучшему прогнозированию)

Статистика Чоу

Будем использовать следующие обозначения:

$\vareps_t=\hat{y}_t-y_t$ - неточность в предсказании ряда на отрезке $[T_1;T_3]$
$RSS$ - остаточная сумма квадратов для всего интервала $[T_1;T_3]$
$RSS_1=\sum_{t=T_1}^{T_2-1}\vareps_{t1}^2$
$RSS_2=\sum_{t=T_2}^{T_3}\vareps_{t2}^2$

Статистика Чоу:

$F(T_2)=\frac{RSS-\bigl(RSS_1+RSS_2\bigr)}{RSS_1+RSS_2}\cdot\frac{n-k_1+k_2}{k_1+k_2-k}$

$k1$ - число параметров модели, предсказывающей поведение ряда на отрезке $[T_1;T_2]$
$k2$ - число параметров модели, предсказывающей поведение ряда на отрезке $[T_2;T_3]$
$k$ - число параметров модели, предсказывающей поведение ряда на отрезке $[T_1;T_3]$ (в общем случае $k\neq k1+k2$ )
$n=T_3-T_1+1$