Критерий знаков

Материал из MachineLearning.

Критерий знаков (sign test) — статистический критерий, позволяющий проверить нулевую гипотезу, что выборка подчиняется биномиальному распределению с параметром $p=1/2$ . Критерий знаков можно использовать как непараметрический статистический критерий для проверки гипотезы равенства медианы заданному значению (в частности, нулю), а также отсутствия сдвига (отсутствия эффекта обработки) в двух связных выборках. Он также позволяет проверять гипотезу симметричности распределения, однако для этого существуют и более мощные критерии — одновыборочный критерий Уилкоксона и его модификации.

Содержание

1 Гипотеза биномиальности
2 Гипотеза равенства медианы заданному значению
3 Гипотеза отсутствия сдвига (эффекта обработки)
4 Литература
5 Ссылки

Гипотеза биномиальности

Пример задачи. В серии из $m$ подбрасываний монеты $k$ раз выпал орёл. Можно ли считать монету симметричной?

Задана бинарная простая выборка $b^m = (b_1,\ldots,b_m),\; b_i \in \{0,1\}$ .

Нулевая гипотеза $H_0:\; \mathbb{P} \{ b=1 \} = 1/2$ .

Статистика критерия:

$k = \sum_{i=1}^m b_i.$

Критерий (при уровне значимости $\alpha$ ):

против альтернативы $H_1:\; \mathbb{P} \{ b=1 \} \neq 1/2$

если $\mathrm{Bin}_p(m,k) \not\in \left[ \alpha/2,\, 1-\alpha/2 \right]$ , то нулевая гипотеза отвергается;

против альтернативы $H'_1:\; \mathbb{P} \{ b=1 \} < 1/2$

если $\mathrm{Bin}_p(m,k) < \alpha$ , то нулевая гипотеза отвергается;

против альтернативы $H''_1:\; \mathbb{P} \{ b=1 \} > 1/2$

если $\mathrm{Bin}_p(m,k) > 1-\alpha$ , то нулевая гипотеза отвергается;

где $\mathrm{Bin}_p(m,k) = 2^{-m}\sum_{i=0}^k C_m^i$ — левый хвост биномиального распределения с параметром $p=1/2$ .

Значение $\mathrm{Bin}_p(m,k)$ является пи-величиной (p-value) данного критерия относительно альтернативы $H'_1$ .

Гипотеза равенства медианы заданному значению

Задана простая выборка $x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R}$ .

Нулевая гипотеза $H_0:\; \mathbb{P} \{ x<a \} = 1/2$ , где $a$ — заданное значение.

Задача сводится к предыдущей, если перейти к бинарной выборке $b_i = \left[ x_i<a \right],\; i=1,\ldots,m.$ Если в выборке имеются значения $x_i = a$ , то их следует исключить из выборки, уменьшив число наблюдений.

Гипотеза отсутствия сдвига (эффекта обработки)

Пример задачи. Первая выборка — это значения некоторой характеристики состояния пациентов, записанные до лечения. Вторая выборка — это значения той же характеристики состояния тех же пациентов, записанные после лечения. Порядок элементов (в данном случае пациентов) в выборках и объёмы выборок обязаны совпадать. Такие выборки называются связными. Требуется выяснить, является ли лечение эффективным, то есть имеется ли значимое отличие в состоянии пациентов до и после лечения, или различия чисто случайны.

Заданы две выборки одинаковой длины $x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^m = (y_1,\ldots,y_m),\; y_i \in \mathbb{R}$ .

Дополнительные предположения:

обе выборки простые;
выборки связные, то есть элементы $x_i,\: y_i$ соответствуют одному и тому же объекту, но измерения сделаны в разные моменты (например, до и после обработки).

Нулевая гипотеза $H_0:\; \mathbb{P} \{ x<y \} = 1/2$ .

Задача сводится к предыдущей, если перейти к бинарной выборке $b_i = \left[ x_i<y_i \right],\; i=1,\ldots,m.$ Если в выборке имеются случаи $x_i = y_i$ , то их следует исключить из выборки, уменьшив число наблюдений.

Литература

Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Под ред. Ю.В.Прохорова. — М.: Большая российская энциклопедия, 2003. — 912 с.
Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.